tuomarit

Kuvitellaan kaksi tuomioistuinta. Ensimmäisessä tuomioistuimessa istuu kolme tuomaria, joista kaksi osaa toisistaan riippumatta tehdä oikeudenmukaisen ratkaisun päätöksissään todennäköisyydellä $p$ . Kolmas tuomari heittää päätöksensä aina kolikolla. Ratkaisu saadaan enemmistöpäätöksellä. Toinen tuomioistuin koostuu vain yhdestä tuomarista, joka osaa tehdä oikean päätöksen todennäköisyydellä $p$ . Kumpi tuomioistuin antaa todennäköisemmin oikean tuomion?

Kuva: Brisan / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Molemmat tuomioistuimet ovat yhtä hyviä. Ensimmäisessä tuomioistuimessa on kolme mahdollista tapausta, joissa ratkaisu on oikeudenmukainen:

Ensimmäinen ja toinen tuomari osuvat oikeaan. Tällöin lantinheittäjätuomarin ratkaisulla ei ole väliä. Todennäköisyys tälle on riippumattomuuden nojalla $p\cdot p=p^2.$
Ensimmäinen on oikeassa, toinen väärässä ja lantinheittäjä oikeassa. Todennäköisyys tälle on $p(1-p)\cdot\frac{1}{2}=\frac{p}{2}-\frac{p^2}{2}$ .
Ensimmäinen erehtyy, toinen on oikeassa ja lantinheittäjä on oikeassa. Tämänkin todennäköisyys on $\frac{p}{2}-\frac{p^2}{2}$ .