tasasivuinen kolmio

0

Piste kolmiossa

|

Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu tasasivuisen kolmion sisällä oleva piste on lähempänä kolmion painopistettä kuin mitään kolmion sivuista?

Tämän pulman esitti Colin Beveridge Twitterissä. Pulma on hieman hankalampi kuin miltä se päälle päin näyttää, mutta se on ratkaistavissa ihan lukiotiedoilla.

Ratkaisu: pisteenetaisyysYleisyydestä luopumatta voimme sijoittaa kolmion yhden kärjen origoon ja asettaa sivun pituudeksi 1 yksikön. Tällöin painopisteen D koordinaatit ovat \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right). Paraabeli on määritelmänsä mukaan niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä annetusta pisteestä ja annetusta suorasta. Näin ollen kysyttyä aluetta rajaa kolme paraabelin kaarta, eli se jää pisteiden E, F ja I väliin. Symmetrian nojalla voidaan rajoittua kolmioon ABD. Tämän jälkeen tehtävä ratkeaa geometristä todennäköisyyttä soveltamalla.

Kolmion ABD ala on \frac{\sqrt{3}}{12}. Kolmioiden AGE ja BHF alat saadaan yhdenmuotoisuutta soveltamalla: Olkoon EG pystysuora. Nyt tasasivuisen kolmion puolikkaana kulmana kulma EAG=30^{\circ}, jolloin kulma GEA=60^{\circ}. Tästä seuraa, että \frac{EG}{EA}=\frac{1}{2}. Koska paraabelin määritelmän nojalla EG=ED, niin AE=\frac{2}{3}AD, jolloin kolmioiden AGE ja AJD yhdenmuotoisuuden vuoksi saadaan kolmion AGE alaksi (\frac{2}{3})^2\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{54}. Symmetrian nojalla tämä on myös kolmion BHF ala.

Pisteiden E ja F kautta kulkevan paraabelin yhtälön selvittämiseksi huomataan ensin, että paraabelin huipun koordinaattien on oltava \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{12}\right). Tästä saadaan paraabelille ns. huippumuotoinen yhtälö

    \[y-\frac{\sqrt{3}}{12}=a\left(x-\frac{1}{2}\right)^2,\]

Nyt, edellisen mittakaavatarkastelun perusteella saadaan paraabelin pisteelle E koordinaatit E=\left(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{9}\right). Yllä olevan yhtälöön sijoittamalla saadaan, että a=\sqrt{3}. Pisteiden E, F, G ja H välinen ala saadaan määrättynä integraalina

    \[A_{EFGH}=\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \left(\sqrt{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{3}}{12}\right)dx=\frac{5}{54\sqrt{3}}.\]

Nyt siis kysytty todennäköisyys on

    \[\frac{A_{ABD}-A_{AGE}-A_{EFGH}-A_{BHF}}{A_{ABD}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{\sqrt{3}}{54}-\frac{5}{54\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{54}}{\frac{\sqrt{3}}{12}}=\frac{5}{27}.\]

Muokattu 31.3.2016: Lukijamme Kössi huomasi, että painopisteen y-koordinaatti oli kaksinkertainen oikeaan painopisteeseen verrattuna. Se on nyt korjattu oikeaksi, eli kolmion painopiste todella on \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right). Lisäksi Kössi toivoi selvennystä siihen, miksi pisteet G ja H jakavat kannan AB suhteessa 1:1:1. Toivoakseni tämä muokattu ratkaisu vastaa nyt tuohonkin kysymykseen paremmin. Tarkempaa tehtävän analysointia ja vaihtoehtoisia ratkaisutapoja löytyy osoitteesta http://math.stackexchange.com/questions/1688936/what-is-the-probability-that-a-point-chosen-randomly-from-inside-an-equilateral.