Neljäksi jaettu neliö

29.11.2017 | Opettaja H.

Paul Sloanen ja Des MacHalen kirjassa Mathematical Lateral Thinking Puzzles on yksinkertaisen näköinen ongelma, jonka ratkaiseminen ei olekaan ihan niin simppeliä.

Jaa neliö neljäksi suorakulmioksi siten, että nämä suorakulmiot voidaan järjestellä uudelleen kahdeksi erikokoiseksi neliöksi.

Ratkaisu: Oheisessa kuvassa on neliö, jonka sivun pituus on 5. Tällä tavalla leikaten se voidaan järjestellä neliöiksi, joiden sivujen pituudet ovat 3 ja 4. Sloanen ja MacHalen mukaan muita toimivia sivunpituussuhdekombinaatioita ei ole olemassa. Yllättävää!

Istumapaikka

31.7.2017 | Opettaja H.

Kuva: Rob Stanley/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Mikko istuu suuressa loppuunmyydyssä suorakulmion muotoisessa katsomossa¹. Hänen edessään olevilla riveillä istuu 175 henkeä ja takanaan olevilla riveillä 400 henkeä. Sarakkeissa Mikon vasemmalla puolella istuu 312 henkeä ja oikealla puolella 264 henkeä. Monennenko rivin monennellako paikalla Mikko istuu?

Ratkaisu: Pulman ratkaisu piilee jaollisuudessa. Aloitetaan tutkimalla Mikon edessä olevia 175 paikkaa. Nyt luvun 175 alkutekijähajotelma on $175=5^2\cdot 7$ , joten järkeviä mahdollisuuksia Mikon eteen ovat vain $7$ riviä, joilla on $25$ paikkaa kullakin, tai $5$ riviä, joilla on $35$ paikkaa, tai toisinpäin.

Mikon takana tilanne on hieman monimutkaisempi: alkutekijähajotelmaksi saadaan $400=2^4\cdot 5^2$ , mutta koska $35$ ei ole luvun $400$ tekijä, jää parhaaksi vaihtoehdoksi, että Mikon takana olisi $16\cdot 25$ paikkaa.

Tarkastellaan sitten sivuja. Nyt $312=2^3\cdot 3\cdot 13$ ja $264=2^3\cdot 3\cdot 11$ . Näistä hyvät paikkamääräkombinaatiot ovat $13\cdot 24=312$ ja $11\cdot 24=264$ .

Yhdessä näistä voidaan päätellä, että salissa pitäisi olla 24 riviä ja 25 saraketta, ja edelleen Mikon paikka on 8. rivillä, 14. sarakkeessa.

Voidaan myös helposti huomata, että jos lasketaan Mikon edestä ja takaa löytyvät paikat yhteen, saadaan $175+400=575$ paikkaa lukuunottamatta riviä, jolla Mikko istuu, ja sivuilta laskien $312+264=576$ paikkaa lukuunottamatta saraketta, jossa Mikko istuu. Näin ollen sarakkeita on oltava yksi enemmän kuin rivejä.

Tämä pulma on peräisin Daniel Grillerin uudesta kirjasta Elastic Numbers, jota ovat suitsuttaneet ainakin Alex Bellos ja Matthew Scroggs – molemmat miehiä, joiden pulmasuosituksiin kannattaa tarttua. Niinpä kyseinen opus koristaakin työpöytääni toivottavasti jo tulevalla viikolla!

Suorakaide neljännesympyrällä

20.4.2016 | Opettaja H.

Neliön sisään piirretään neljännesympyrä niin, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa kuvan mukainen neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivut ovat $1$ ja $8$ . Kuinka pitkä on neliön sivu?

Tämä pulma tuli vastaan jokin aika sitten Twitterissä. Tässä muodossa pulma on Matthew Scroggsilta.

Ratkaisu: Olkoon neliön sivu (ja samalla neljännesympyrän säde) $r$ . Piirretään neljännesympyrän kehältä kohtisuora jana neliön sivulle. Nyt saadaan suorakulmainen kolmio, jonka sivujen pituudet ovat $r-8$ , $r-1$ ja $r$ . Tästä Pythagoraan mukaan saadaan $(r-8)^2+(r-1)^2=r^2$ . Yhtälön ratkaisut ovat $r=13$ ja $r=5$ , mutta jälkimmäinen ei tietenkään kelpaa, sillä selvästi $r>8$ . Näyttökuva 2016-4-25 kello 11.06.01