summat

2

Pikainen summa

|

Tehdäänpä välillä pieni päässälaskutemppu. Valitse mitkä tahansa kaksi lukua ja laske ne yhteen. Jatka Fibonaccin jonon tyylisesti niin, että seuraavan luvun saat laskemalla kaksi edellistä lukua yhteen. Jatka, kunnes sinulla on kaikkiaan kymmenen lukua. Näiden kymmenen luvun summa on 11 kertaa neljänneksi viimeinen luku.

Siis esimerkiksi

    \[3+4+7+11+18+29+47+76+123+199=11\cdot 47=517.\]

Helppoa, eikö? Osoita, että homma toimii aina.

Ratkaisu: Ystäväni Maija ratkaisi ongelman seuraavasti. Merkitään kahta ensimmäistä lukua a ja b. Nyt a + b + (a+b) + (a+2b) + (2a+3b) + (3a + 5b) + (5a+8b) + (8a+13b) + (13a+21b) + (21a+34b) = 55a + 88b = 11\cdot (5a+8b).

Ratkaisu muuten mahtui kokonaisuudessaan yhteen twiittiin.

0

Kaiken juuri

|

Paljonko on

    \[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots \frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}?\]

Ratkaisu: Koska laventamalla saadaan

    \[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}=\sqrt{2}-1,\]

ja edelleen

    \[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\]

ja koska vastaava lavennus toimii kaikille summan tekijöille, niin

    \[\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots +\sqrt{25}-\sqrt{24}=5-1=4.\]

Tämä ongelma löytyi Matthew Scroggsin pulmakokoelmasta.