summa

1

Peräkkäisten kokonaislukujen summa

|

Tämänkertainen pulmamme on kaksiosainen – viikon helppo ja viikon vaikea samassa paketissa. Löysin tämän lukuteoreettisen ongelman standup-matemaatikkona esiintyvän Matt Parkerin ensiluokkaisesta kirjasta Things To Make And Do In Fourth Dimension, ja se kuuluu seuraavasti.

Etsi lukujen 10 ja 20 väliltä ainoa kokonaisluku, jota ei voida esittää kahden tai useamman peräkkäisen positiivisen kokonaisluvun summana. Kun olet löytänyt sen, etsi sellainen (ainoa lajiaan, muuten) lukujen 30 ja 40 väliltä. Entä löydätkö lukujen 20 ja 30 väliltä tällaisia lukuja? Tässä lienee riittävästi purtavaa viikon helpon pulman tarpeisiin.

Vaikeampi pulma on tietenkin löytää kaikki sellaiset positiiviset kokonaisluvut, joita ei voida esittää peräkkäisten positiivisten lukujen summana. Entä miten tämä voidaan osoittaa?

Ratkaisu: Lukujen 10 ja 20 väliltä ainoa luku, jota ei voida esittää kahden tai useamman peräkkäisen luvun summana on 16. Lukujen 30 ja 40 väliltä löytyy tällaisista luvuista luku 32. Lukujen 20 ja 30 välillä ei tällaisia lukuja ole. Onko tässä vinkkiä tarpeeksi? Kyllä vain: kaikki muut luvut voidaan esittää peräkkäisten lukujen summina paitsi kakkosen potenssit. Todistetaan tämä:

Aloitetaan yksinkertaisesti. Kaikki parittomat luvut voidaan esittää muodossa 2n+1, missä n on jokin kokonaisluku. Tämä tarkoittaa heti sitä, että pariton luku voidaan ilmoittaa muodossa n+(n+1), eli kahden peräkkäisen luvun summana.

Siirrytään sitten parillisiin lukuihin. Jos luku on jaollinen kolmella, se voidaan ilmoittaa muodossa 3n, missä n on kokonaisluku. Toisaalta

    \[3n=(n-1)+n+(n+1),\]

joten kaikki kolmella jaolliset luvut voidaan esittää kolmen peräkkäisen luvun summana. Itse asiassa on helppo huomata, että

    \[5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2),\]

ja että sama idea yleistyy välittömästi kaikille muillekin parittomalla luvulla jaollisille kokonaisluvuille. Näin on saatu katettua jo kaikki muut luvut paitsi kakkosen potenssit (sillä kaikissa muissa parillisissa luvuissa on jokin pariton luku tekijänä). Nyt on osoitettava enää, että mitään kakkosen potensseja ei todellakaan voida kirjoittaa peräkkäisten lukujen summaksi.

Tutkitaan yleisesti k peräkkäisen kokonaisluvun summaa. Jos lukuja on pariton määrä, on summa jaollinen jollakin parittomalla luvulla, kuten edellä todettiin. Tutkitaan siis yleistä peräkkäisten lukujen summaa, jossa on parillinen määrä summan tekijöitä. Jos ensimmäinen luvuista on m, on viimeinen niistä m+(k-1). Saadaan aritmeettinen summa

    \[m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(m+(k-1))\]

    \[=km+(0+1+2+\cdots +(k-1))\]

    \[=km+\frac{k}{2}(k-1).\]

Lavennetaan ensimmäistä termiä kakkosella ja otetaan osoittajasta k yhteiseksi tekijäksi. Saadaan

    \[km+\frac{k}{2}(k-1)=\frac{k(2m-k-1)}{2}.\]

Koska k on parillinen kokonaisluku, on tulon tekijä (2m-k-1) varmasti pariton, joten saatu luku ei voi olla kakkosen potenssi. Näin ollen kakkosen potensseja ei voida milloinkaan esittää peräkkäisten lukujen summana.