säännölliset monikulmiot

Säännöllisellä monikulmiolla tarkoitetaan monikulmiota, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret. Niitä on tutkittu käytännössä niin kauan kuin matematiikkaa yleensäkin on tutkittu.

Yksi hyvin tunnettu säännöllisten monikulmoiden sovelluskohde on ympyrän piirin ja pinta-alan arviointi. Jo ammoin ymmärrettiin, että kaikkien ympyröiden piirin ja halkaisijan suhde oli sama: piiri on hieman yli kolminkertainen halkaisijaan nähden. Nykyään tätä suhdetta merkitään symbolilla $\pi$ . Luku $\pi$ on irrationaaliluku, eli päättymätön jaksoton desimaaliluku. Sitä on vuosituhansien saatossa arvioitu monin tavoin, josta tässä paneudumme nyt ympyrän sisään piirrettyihin säännöllisiin monikulmioihin.

Ympyrän sisään piirretyllä monikulmiolla tarkoitetaan monikulmiota, jonka kaikki kärjet ovat ympyrän kehällä. Säännöllisen monikulmion ympäri voidaan aina piirtää ympyrä, vaikka yleisesti kaikilla monikulmioilla tätä ominaisuutta ei ole. Säännöllisen monikulmion keskipiste ja sen ympäri piirretyn ympyrän keskipiste yhtyvät.

Jos säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärää kasvatetaan, saadaan yhä parempia arviota ympyrän pinta-alalle ja sitä kautta myös luvulle $\pi$ . Voidaan (melko) helposti osoittaa, että kun monikulmion sivujen lukumäärä kasvaa rajatta, monikulmion alan raja-arvo on ympyrän ala $\pi r^2$ . Kuvia katsomalla tämä toki näyttää ilmeiseltä, mutta matematiikassa mikään ei ole varmaa ennen kuin se on oikeasti todistettu.

Viikon vaikea kysymys on seuraava. Kuinka monisivuinen ympyrän sisään piirretty säännöllinen monikulmio tarvitaan, jotta monikulmion ala olisi korkeintaan $0,1$ prosenttia pienempi kuin ympyrän ala?

PS. Arkhimedes pääsi jo 200-luvulla eaa. huiman hyvään arvioon $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$ . Hän käytti tiettävästi apunaan ympyrän ympäri ja sisään piirrettyä säännöllistä 96-kulmiota!

Ratkaisu: Säännöllinen $n$ -kulmio voidaan aina jakaa $n$ yhtenevään tasakylkiseen kolmioon, joiden kanta on monikulmion sivu ja kylkinä monikulmion keskipisteen ja kärjen yhdysjana. Tässä tapauksessa tämä yhdysjana on tietenkin ympyrän säde. Kolmioiden huippukulma on $\frac{360^{\circ}}{n}$ , joten kolmioiden yhteenlasketuksi pinta-alaksi saadaan

$A_{kolmiot}=n\cdot\frac{1}{2}r^2\cdot \sin \frac{360^{\circ}}{n}.$

Tehdään tässä vaiheessa muutama muutos käytettäviin lukuihin. Ensinnäkin, muutetaan kulman suuruus radiaaneiksi. $360^{\circ}=2\pi$ (rad), joten alan lausekkeeksi saadaan nyt $A_{kolmiot}=n\cdot\frac{1}{2}r^2\cdot \sin \frac{2\pi}{n}.$ Tehdään vielä toinen tekninen vaihdos vähäksi aikaa: olkoon $\frac{2\pi}{n}=x,$ joten $\frac{2\pi}{x}=n$ , josta edelleen

$A_{kolmiot}=\frac{2\pi}{x}\cdot\frac{1}{2}r^2\cdot \sin x=\pi r^2\cdot \frac{\sin x}{x}.$

Ympyrän ala on tietenkin $\pi r^2$ , joten kysytty suhde

$\frac{A_{kolmiot}}{A_{ympyrä}}=\frac{\pi r^2\cdot \frac{\sin x}{x}}{\pi r^2}=\frac{\sin x}{x}.$

Tutkitaan seuraavaksi lausekkeen $\frac{\sin x}{x}$ käyttäytymistä. Koska $\frac{2\pi}{n}=x,$ niin sivujen lukumäärän $n$ kasvaessa rajatta $x\to 0$ . On tilanneyhteydestä ilmeistä, että nyt $\frac{\sin x}{x}\to 1$ , kun $x\to 0$ mutta kuinka se todistetaan? Ja edelleen (ja tässä onkin varsinainen kysymyksemme): kuinka suuri luvun $n$ on oltava, tai siis kuinka pieni luvun $x$ on oltava, jotta $\frac{\sin x}{x}>0,999$ . Vastaus molempiin kysymyksiin voidaan etsiä monin tavoin. Niistä yksi hienoimmista on ns. Taylorin sarja.

Sinifunktio voidaan esittää päättymättömänä summana eli sarjana

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots,$

joten lauseke $\frac{\sin x}{x}$ voidaan sieventää muotoon

$\frac{\sin x}{x}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$

Tämän lausekkeen arvo lähestyy selvästi arvoa $1$ , kun $x\to 0$ . Edelleen tätä lauseketta voidaan arvioida vain paria ensimmäistä termiä käyttäen. Siis lähellä nollaa

$\frac{\sin x}{x}\approx 1-\frac{x^2}{3!}.$

Näin ollen oikea suuruusluokka ratkaisulle saadaan epäyhtälöstä $1-\frac{x^2}{3!}>0,999$ , josta $0<x<\sqrt{0,006}.$ (Ei-positiivinen osa epäyhtälön ratkaisusta voidaan nyt sivuuttaa.) Takaisin alkuperäiseen muuttujaan $n$ palaten saamme

$\frac{2\pi}{n}<\sqrt{0,006},$

josta edelleen $n>81,11\ldots$ . Koska tämä oli alkujaankin likiarvo, tarkistetaan vielä saadut arvot sijoittamalla lausekkeeseen $\frac{\sin x}{x}$ luvun $n$ arvoja $81$ ja $82$ vastaavat arvot $x=\frac{2\pi}{81}$ ja $x=\frac{2\pi}{82}$ :