paradoksit

0

Ikä on vain numero

|

Koska maailma tuntuu siirtyneen faktojen jälkeiseen aikaan, myös täällä Pulmakulmassa lienee tarpeen venyttää totuuden rajoja. Osoitetaan matemaattista induktiota käyttäen, että kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä.

Matemaattisessa induktioperiaatteessahan on kyse siitä, että jos voidaan osoittaa, että

  1. jokin luonnollisia lukuja tai jotain sen osajoukkoa koskeva väittämä pätee pienimmälle tarkasteltavalle luvulle, ja että
  2. väitteen totuudesta luvulle k seuraa väitteen totuus luvulle k+1,

niin tällöin väite pätee kaikille tarkasteltaville luvuille. Induktioperiaatteen hyvä havainnollistus löytyy esimerkiksi tästä.

No niin, sitten asiaan. Osoitetaan ensin, että yhden ihmisen joukossa kaikki ovat keskenään samanikäisiä. Tämä on tietenkin triviaalisti totta.

Tehdään seuraavaksi induktio-oletus, että k suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Riittää osoittaa, että tästä seuraa se, että sattumanvaraisten k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Tämä voidaan todistaa osoittamalla, että tämän joukon sattumanvaraiset henkilöt H ja S ovat samanikäisiä.

Poistetaan ensin k+1 suomalaisen joukosta henkilö H. Nyt jäljelle jääneet kaikki k suomalaista ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis S on samanikäinen kaikkien muiden kanssa, esimerkiksi henkilön M kanssa. Poistetaan seuraavaksi alkuperäisestä k+1 suomalaisen joukosta henkilö S. Nyt jäljelle jääneet k henkilöä ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis esimerkiksi H ja M ovat nyt samanikäisiä.

Mutta nythän toisaalta S ja M ovat samanikäisiä ja toisaalta H ja M ovat samanikäisiä, joten välttämättä H ja S ovat samanikäisiä. Olemme siis onnistuneet osoittamaan, että k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Induktioperiaatteen mukaan kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä!

No, tuota. Oikeasti minä en ole samanikäinen veljeni kanssa. Viikon vaikea pulma on selvittää, mikä meni pieleen. Onko matematiikka rikki?

Ratkaisu: Matematiikka ei onneksi ole rikki, vaan todistuksessa on ihan oikea virhe. Henkilöistä S ja H poikkeavan henkilön M olemassaoloa ei voida olettaa. Jotta näin voitaisiin tehdä, olisi pitänyt pystyä osoittamaan, että kaikissa kahden henkilön joukoissa on vain samanikäisiä. Ja tämähän ei tietenkään onnistu.

0

Monivalintakysymys

|

Jos vastaat tähän kysymykseen sattumanvaraisesti, millä todennäköisyydellä vastaat oikein?

  1. 25 %
  2. 50 %
  3. 60 %
  4. 25 %

Tämä kysymys on kierrellyt jo jonkin aikaa ympäri nettiä. Kiitos kontribuutiosta, Mikko Saari!

Ratkaisu: Pulmaa ei tietenkään voida ratkaista sen itseensä viittaavan luonteen vuoksi. Toisin sanoen pulma ei ole hyvin määritelty. Se ei tietenkään tarkoita sitä, etteikö se olisi hauska. Juuri tällaisista paradokseista ja kielivitseistä minä olen pitänyt koko ikäni. Lisää tästä teemasta löytyy esimerkiksi Alexander Bogomolnyn mainiolta Cut the Knot -sivustolta.

6

Kaksi rahakuorta

|

Tämä ongelma liittyy oleellisesti kolmen rahakuoren pulmaan, joten suosittelen tutustumaan siihen ja sen ratkaisuun ensin. Luvassa on ensinäkemältä hämmästyttävä paradoksi.

Saat kirjekuoren, jossa on tietty määrä rahaa. Minulla on suljettu kirjekuori, jossa on joko kaksi kertaa enemmän rahaa kuin sinun kuoressasi tai vain puolet rahoistasi. Kannattaako sinun vaihtaa?

Päätellään kuten kolmen kuoren ongelmassa, että vaihtaminen kannattaa:

  1. Olkoon kuoressasi X euroa.
  2. Rahasumma X voi olla joko suurempi tai pienempi kuin toisen kuoren rahasumma.
  3. Toisen kuoren rahasumma on siis \frac{X}{2} todennäköisyydellä \frac{1}{2} tai 2X todennäköisyydellä \frac{1}{2}.
  4. Näin ollen rahasumman odotusarvoksi saadaan \frac{1}{2}\cdot \frac{X}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2X=\frac{5}{4}X.

Uskomaton tulos! Tämä sotii vahvasti arkista järkeilyä vastaan. Onko vika päättelyssä vai arkijärjessä?

Ratkaisu: Tällä kerralla ongelma todella on päättelyssä, tarkemmin sanottuna kohdassa 3. Emme voi lähteä siitä, että toisessa kuoressa olisi 2X tai \frac{1}{2}X ja laskea odotusarvoa kuten kolmen kuoren ongelmassa. Tämä siksi, että ne molemmat eivät ole mahdollisia tapauksia.

Oikeaa päättelyä olisi todeta, että on kaksi rahakuorta, joissa on rahasummat X ja 2X, mutta emme tiedä, kumpi niistä on hallussamme. Nyt hallussamme olevan rahasumman odotusarvo on \frac{1}{2}\cdot X+\frac{1}{2}\cdot 2X=\frac{3}{2}X, mikä puolestaan tarkoittaa, että on yhdentekevää, vaihtaako vai ei. On yhtä todennäköistä, että hallussa on iso tai pieni rahasumma, eikä se vaihtamalla muutu.

Tämänkin pulman lähteenä oli Thomas Poveyn matematiikka- ja fysiikkaongelmia käsittelevä opus Professor Povey’s Perplexing Problems.