omenat

0

Torimyyjän tappio

|

Kuva: Phil Romans / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Seuraava pulma on kuuluisan amerikkalaisen ongelmanlaatijan Sam Loydin (1841–1911) käsialaa, ja se tunnetaan myös Covent Gardenin ongelmana. Näin se kuuluu:

Tolvanen ja Penttinen myyvät omenoita torilla. Heillä on yhtä paljon omenoita, mutta Penttisen omenat ovat isompia. Siispä Penttinen myy kaksi omenaa eurolla, kun taas Tolvaselta saa kolme omenaa eurolla.

Eräänä päivänä Penttisen piti mennä muualle, ja hän pyysi Tolvasta myymään hänenkin omenansa. Omenakasat sekoitettiin ja hinnaksi asetettiin viisi omenaa kahdella eurolla. Seuraavana päivänä kaikki omenat oli myyty, ja oli aika jakaa potti. He olivat sopineet jakavansa omenoista saatavat rahat tasan. Mutta nyt Tolvanen ja Penttinen huomasivat, että he olivat hävinneet seitsemän euroa siihen nähden, mitä he olisivat tienanneet, jos he olisivat myyneet omenansa erikseen.

Viikon vaikea kysymys on, paljonko Penttinen hävisi myyntijärjestelyssä.

Ratkaisu: Omenoiden kokonaismäärän on oltava viidellä jaollinen, jotta ne kaikki voidaan myydä viiden kappaleen erinä. Mutta jotta omenoista voitaisiin erotella Penttisen ja Tolvasen osuudet (tasaeuroina), on omenoita oltava vähintään 60, joista Tolvanen olisi itse myydessään saanut 10 euroa 30 omenasta ja Penttinen 15 euroa 30 isommasta omenasta.

Nyt 60 omenasta he saivat yhteensä 12\cdot 2=24 euroa, joten he häviävät yhden euron siihen nähden, että olisivat myyneet omenat erikseen. Näin ollen Tolvasen myydessä molempien omenat yhteensä seitsemän euron tappiolla on omenoita ollut alun perin 7\cdot 60=420. Kummallekin kauppiaalle jää siis käteen 7\cdot 12=84 euroa. Jos Penttinen olisi myynyt 210 omenaa itsekseen, olisi hän saanut niistä 210/2=105 euroa, joten Penttinen hävisi järjestelyssä 21 euroa.

0

Omenapora

|

Pitkän matematiikan syksyn 2015 ylioppilaskokeessa tehtävänä 7 kysyttiin seuraavaa:

Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.

Tehtävä on ihan hauska ja hyvä, mutta vielä hauskempi on tehtävän ilkeä äitipuoli. Jos olisin Martin Gardner, olisin kysynyt abiturienteilta näin:

Pallon muotoisen omenan läpi porataan kuusi senttimetriä pitkä reikä, joka kulkee pallon keskipisteen kautta. Kuinka suuri on jäljelle jäävän omenan tilavuus?

Kuva: Alan Levine/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Alan Levine/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu:

Lieriö pallossaPallo ja lieriö – poikkileikkaus

Omenapora leikkaa omenasta kappaleen, joka muodostuu suorasta ympyrälieriöstä, jonka korkeus on mainittu 6 cm, sekä kahdesta pallosegmentistä. Olkoon omenan säde R, lieriön säde r ja pallosegmentin korkeus h. Lieriö sijaitsee symmetrisesti omenan keskipisteen ylä- ja alapuolella, joten voimme piirtää oheisen poikkileikkauksen mukaisen kuvan. Nyt Pythagoraan lauseen nojalla R^2=3^2+r^2, eli r^2=R^2-3^2. Edelleen havaitaan, että pallosegmentin korkeus on h=R-3. Näistä huomioista saadaankin jo laskettua sekä lieriön että pallosegmentin tilavuudet:

    \[\begin{array}{rcl} V_l & = &\pi r^2\cdot 6=\pi(R^2-3^2)\cdot 6\\ & = & 6\pi R^2-54\pi;\\ V_{ps} & = & \pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\\ &=&\pi (R-3)^2\left(R-\frac{R-3}{3}\right)\\ & =&\frac{2}{3}\pi R^3-6\pi R^2+18\pi. \end{array}\]

Tämän jälkeen loppu on pelkkää sievennystä:

    \[\begin{array}{rcl} V_{omena} & =&V_{pallo}-V_l-2V_{ps}\\ &=&\frac{4}{3}\pi R^3-\left(6\pi R^2-54\pi\right)-2\left(\frac{2}{3}\pi R^3-6\pi R^2+18\pi\right)\\ &=&36\pi. \end{array}\]

Vastaus on siis – ehkä hieman yllättäen – omenan säteestä riippumaton vakio.

Jälkikirjoitus: Annoin tämän ongelman viime keväänä pohdittavaksi parille opiskelijalleni. Eräs heistä esitti ongelmaan sangen ketterän ratkaisun. Hän totesi, että pienentämällä reiän sädettä kohti nollaa on päädyttävä samaan ratkaisuun kuin missä muussa tapauksessa tahansa. Reiän ja pallosegmenttien hävitessä raja-arvona on pallo, jonka halkaisija on 6. Siispä jäljelle jäävä tilavuus on sama kuin 3-säteisen pallon, eli \displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=36\pi. Ratkaisu on sinänsä ovela oikotie, mutta se perustuu ehkä vähän kyseenalaiseen lisäoletukseen: voimmeko tehtävänannon perusteella luotettavasti päätellä, että kyseessä on ongelma, johon on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu?