odotusarvo

0

Katkaistu keppi

|

Keppi katkaistaan sattumanvaraisesta kohdasta. Viikon helppo pulma on, kuinka suuri osa koko kepistä lyhyempi pala keskimäärin on. Tämän ratkaistuasi voit siirtyä viikon vaikeaan pulmaan: mikä on kepin lyhyemmän ja pidemmän osan pituuksien keskimääräinen suhde?

Ratkaisu: Sattumanvarainen katkaiseminen tarkoittaa sitä, että kepin jokainen kohta on yhtä todennäköinen katkeamiskohta. Katkeamiskohta on yhtä todennäköisesti kepin puolivälin vasemmalla ja oikealla puolella. Se katkeaa keskimäärin tämän puolikkaan keskeltä, joten sen keskimääräinen pituus on \frac{1}{4} koko kepin pituudesta.

Tutkitaan sitten osien pituuksien suhdetta. Yleisyydestä poikkeamatta voidaan olettaa kepin pituudeksi 1 yksikkö. Olkoon  katkeamiskohta kepin loppupäässä ja olkoon pidemmän palan pituus x. Lyhyempi pala on nyt siis 1-x ja näin ollen kysytyksi suhteeksi saadaan

    \[2\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{1-x}{x} dx=2\ln 2-1\approx 0,386.\]

Tämä pulma oli Frederick Mostellerin kirjasta Fifty Challenging Problems in Probability.

0

Buffonin neula

|
Gianluigi Buffon. Kuva: Nazionale Calcio/Flickr (CC BY 2.0)

Gianluigi Buffon. Kuva: Nazionale Calcio/Flickr (CC BY 2.0)

Ei, jutun otsikko ei hauku Gigi Buffonia seulaksi. Otetaan sen sijaan käsittelyyn pulma, josta olin kuullut aiemminkin, muistaakseni noin vuonna 2009 Päivölän kansanopiston matematiikkalinjan Pythagoraan polku -kilpailun vierailuluennolla professori Robert Pichéltä. Mieleeni sen palautti Jordan Ellenbergin kirja How Not To Be Wrong. Ellenbergin kirja on myös tämän pulman ratkaisun lähteenä.

Nyt puhutaan nimittäin Georges-Louis LeClercistä, Buffonin kreivistä, joka vuonna 1733 toi ensi kerran geometrian ja todennäköisyyslaskennan yhteen. Lämmittelyksi voit tutustua vaikkapa tähän aiempaan ongelmaamme. Kolikonheitto-ongelman yleisen ratkaisun esitettyään kreivi Buffon lataa kovat piippuun.

Ajatellaan tasalevyisistä pitkistä lankuista koostuvaa lattiaa. Lattialle pudotetaan ohut neula, joka on täsmälleen lankkujen levyinen. Millä todennäköisyydellä neula putoaa lankun reunan päälle?

Kreivi Buffonin oma ratkaisu ongelmaan on tiukkaa matemaattista analyysiä, mutta pulma ratkeaa myös eräällä toisella tavalla, jossa tarvitaan vain hyvin yksinkertaisia matemaattisia apuvälineitä. Nimittäin yli sata vuotta Buffonin jälkeen Joseph-Émile Barbier esitti ratkaisun, joka perustuu odotusarvon käsitteeseen ja erityisesti sen additiivisuuteen, eli siihen, että useamman tapahtuman yhteinen odotusarvo on erillisten odotusarvojen summa. Otapa tästä vinkistä kiinni ja yritä ratkaista pulma!

Tämä on vuoden 2015 viimeinen Pulmakulman pulma, joten käytän samalla tilaisuuteni kiittää seurasta tämän blogin ensimmäisten kuukausien aikana. Minulla on ollut hauskaa, toivottavasti teilläkin!

Buffonin kreivin patsas Pariisin Jardin des Plantes'ssa. Kuva: Jean-Pierre Dalbéra/Flickr (CC BY 2.0)

Buffonin kreivin patsas Pariisin Jardin des Plantes’ssa. Kuva: Jean-Pierre Dalbéra/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: buffon1On mahdollista, että neula joko putoaa reunan päälle tai sitten ei. Olkoon p todennäköisyys sille, että neula putoaa reunalle. Tämän vastatapahtuma on se, että neula ei osu reunalle. Tämän todennäköisyys on 1-p. Näin pääsemme laskemaan odotusarvon reunan ja neulan leikkauspisteiden määrästä: 0\cdot (1-p)+1\cdot p=p1.

Koska odotusarvo on additiivinbuffon2en, eli E(X+Y)=E(X)+E(Y), voidaan päätellä, että kahden neulan pudottamisessa leikkauskohtien lukumäärän odotusarvo on 2p. Edelleen, jos pudotetaan vaikkapa kolme yhteenliitettyä neulaa, on odotusarvo leikkauspisteille 3p, sillä liittäminen ei vaikuta yksittäisen neulan osumatodennäköisyyteen.

Voidaan päätellä, että jos lankkujen väli on a, niin miten tahansa väännellyn neulan, jonka pituus on k\cdot a, leikkauskohtien odotusarvo on k\cdot p. Eli esimerkiksi jos neulan pituus olisi \pi\cdot a, olisi leikkauskohtien odotusarvo \pi\cdot p. Ongelman loppuratkaisu onkin tässä.
buffon3Neula, jonka pituus on \pi\cdot a, voidaan taivuttaa ympyräksi, jonka säde on \frac{1}{2}a. Tällainen ympyrä osuu välttämättä lankkujen reunoille täsmälleen kahdesti. Siispä \pi\cdot p =2, josta välittömästi

    \[p=\frac{2}{\pi}\approx 0,637.\]

6

Kaksi rahakuorta

|

Tämä ongelma liittyy oleellisesti kolmen rahakuoren pulmaan, joten suosittelen tutustumaan siihen ja sen ratkaisuun ensin. Luvassa on ensinäkemältä hämmästyttävä paradoksi.

Saat kirjekuoren, jossa on tietty määrä rahaa. Minulla on suljettu kirjekuori, jossa on joko kaksi kertaa enemmän rahaa kuin sinun kuoressasi tai vain puolet rahoistasi. Kannattaako sinun vaihtaa?

Päätellään kuten kolmen kuoren ongelmassa, että vaihtaminen kannattaa:

  1. Olkoon kuoressasi X euroa.
  2. Rahasumma X voi olla joko suurempi tai pienempi kuin toisen kuoren rahasumma.
  3. Toisen kuoren rahasumma on siis \frac{X}{2} todennäköisyydellä \frac{1}{2} tai 2X todennäköisyydellä \frac{1}{2}.
  4. Näin ollen rahasumman odotusarvoksi saadaan \frac{1}{2}\cdot \frac{X}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2X=\frac{5}{4}X.

Uskomaton tulos! Tämä sotii vahvasti arkista järkeilyä vastaan. Onko vika päättelyssä vai arkijärjessä?

Ratkaisu: Tällä kerralla ongelma todella on päättelyssä, tarkemmin sanottuna kohdassa 3. Emme voi lähteä siitä, että toisessa kuoressa olisi 2X tai \frac{1}{2}X ja laskea odotusarvoa kuten kolmen kuoren ongelmassa. Tämä siksi, että ne molemmat eivät ole mahdollisia tapauksia.

Oikeaa päättelyä olisi todeta, että on kaksi rahakuorta, joissa on rahasummat X ja 2X, mutta emme tiedä, kumpi niistä on hallussamme. Nyt hallussamme olevan rahasumman odotusarvo on \frac{1}{2}\cdot X+\frac{1}{2}\cdot 2X=\frac{3}{2}X, mikä puolestaan tarkoittaa, että on yhdentekevää, vaihtaako vai ei. On yhtä todennäköistä, että hallussa on iso tai pieni rahasumma, eikä se vaihtamalla muutu.

Tämänkin pulman lähteenä oli Thomas Poveyn matematiikka- ja fysiikkaongelmia käsittelevä opus Professor Povey’s Perplexing Problems.

2

Kolme rahakuorta

|

Seuraava pulma on jälleen Thomas Poveyn peruja. Se on sukua kuuluisalle Monty Hallin ongelmalle, mutta siinä on oma pieni lisämausteensa.

Saat kirjekuoren, jossa on tietty summa rahaa. Tämän jälkeen näytän sinulle kaksi muuta kuorta, joista toisessa on kaksinkertainen rahasumma ja toisessa puolet kirjekuoresi rahasummasta. Suljen kaksi muuta kuorta ja sekoitan ne niin, ettei niistä voi mitenkään päätellä, kumpi oli kumpi. Nyt sinulla on kaksi vaihtoehtoa: voit joko pitää nykyisen kuoresi tai vaihtaa jompaan kumpaan toisista kuorista. Mitä sinun kannattaisi tehdä?

Ratkaisu: Tutkitaan ongelmaa odotusarvon käsitteen kautta. Odotusarvo tarkoittaa eräänlaista satunnaisilmiön jakauman keskiarvoa, jota laskettaessa satunnaismuuttujan arvot painottuvat niiden todennäköisyyksien suhteessa.

Olkoon nyt kirjekuoressasi oleva rahasumma X. Näin ollen kahdessa muussa kuoressa olevat rahasummat ovat 2X sekä \frac{1}{2}X. Nyt on kaksi mahdollista tapausta.

  1. Et vaihda kuoria. Tällöin saamasi rahasumman odotusarvo on varmasti X.
  2. Vaihdat. Nyt voit todennäköisyydellä \frac{1}{2} saada kuoren, jossa on 2X, ja samoin todennäköisyydellä \frac{1}{2} kuoren, jossa on \frac{1}{2}X. Saamasi rahasumman odotusarvo on nyt \frac{1}{2}\cdot 2X+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}X=\frac{5}{4}X.

Näin ollen vaihto kannattaa.