nopeus

0

Funikulaari

|

Ystäväpiirissäni on useita, joiden mielestä funikulaari eli kiskoköysirata on yleensä vierailemisen arvoinen kohde, mikäli matkalla sellainen vastaan sattuu. Perusideahan on, että funikulaarissa on kaksi vaunua, joista toisen matkatessa ylös toinen tulee samaan aikaan alas. Jännimmissä funikulaareissa on vain yksi raide paitsi radan puolessavälissä, jossa vaunujen ohituspaikkaan on tehty pieni pätkä kaksiraiteista rataa. Mutta asiaan.

Kössi oli reissussa ja osui erityisen pitkän funikulaarin luo. Yhdensuuntainen matka-aika radalla oli peräti 15 minuuttia. Kössi lähti jalkapatikassa ala-asemalta kipuamaan kohti yläasemaa samaan aikaan kun vaunu lähti liikkeelle1. Kössi oli selvästi hitaampi kuin funikulaari. Vastaantuleva vaunu ohitti Kössin 12,5 minuutin kuluttua liikkeellelähdön jälkeen. Viikon helpot kysymykset ovat, koska jompi kumpi vaunu ohittaa Kössin seuraavan kerran ja kumpaan suuntaan vaunu on silloin menossa. (Oletetaan tehtävän vuoksi, että vaunut lähtevät ylä- ja ala-asemilta liikkeelle välittömästi sinne päästyään. Oletetaan myös, että sekä vaunut että Kössi liikkuvat tasaisella nopeudella.)

Kuva: Mark Fischer/Flickr (CC BY-SA 2.0)

Ratkaisu: Tämä pulma on versioitu Lewis Carrollin teoksessa A Tangled Tale (1885) olleesta ongelmasta.

Koska kohtaaminen tapahtuu 12 ja puolen minuutin jälkeen, on funikulaarin nopeus viisinkertainen Kössin nopeuteen verrattuna. Lasketaan ensin, koska tämä vastaantuleva vaunu ohittaa Kössin seuraavan kerran, ja todetaan sitten, että yläasemalta tuleva vaunu ei vielä silloin ole tullut vastaan.

Olkoon funikulaariradan koko pituus a ja olkoon kohta, jossa Kössi ja alhaalta tuleva vaunu kohtaavat seuraavan kerran, etäisyydellä b ala-asemalta. Olkoon t ajanhetki, jolloin kohtaaminen tapahtuu. Merkitään nyt Kössin nopeutta v_k=\frac{b}{t} ja funikulaarin nopeutta v_f=\frac{a+b}{t}. Funikulaari kulkee siis ensin koko radan ja sitten vielä matkan b rinnettä ylöspäin. Koska funikulaarin nopeus on viisinkertainen, saadaan yhtälö

    \[\frac{a+b}{t}=5\cdot\frac{b}{t},\]

josta t pois kertomalla saadaan, että

    \[b=\frac{1}{4}a.\]

Tästä voidaan päätellä, että kohtaaminen tapahtuu, kun aikaa on tarkastelun alusta kulunut koko radan kesto eli 15 minuuttia sekä neljäsosa noususta, eli 3 minuuttia ja 45 sekuntia. Näin ollen ensimmäisestä sivuutuksesta toiseen kuluu tämä 3 minuuttia ja 45 sekuntia sekä 2 ja puoli minuuttia, joka oli jäljellä ensimmäisestä radan mitasta. Siis yhteensä aikaa kuluu 6 minuuttia ja 15 sekuntia.

Koska seuraava kohtaaminen tapahtuu ennen radan puoltaväliä, on Kössin ohittava vaunu tulossa ala-asemalta.

0

Liukukäytävä

|
Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Varsinkin suurilla ulkomaisilla lentoasemilla ja metroasemilla on käytössä liukukäytäviä siirtymien helpottamiseksi. Olenkin miettinyt, miksi näitä henkilökuljettimia oikein kutsutaan, ja ilmeisesti juuri liukukäytävä on virallinen suomenkielinen nimitys. Englanniksi vekottimella on hauskemmalta kalskahtava nimitys, travelator.

Mutta asiaan. Matematiikan arvostetuimmalla palkinnolla, Fieldsin mitalilla, vuonna 2006 palkittu australialaismatemaatikko Terence Tao on esittänyt seuraavan pulman:

Matkalla turvatarkastuksesta portille on sekä tavallista lattiaa että liukukäytäviä. Lattialla H. kävelee nopeudella v ja liukukäytävä liikkuu nopeudella u (jolloin H. voi halutessaan siis edetä liukukäytävällä nopeudella v+u). H:n täytyy pysähtyä matkalla solmimaan kengännauhansa, johon kuluu tietty vakioaika. Jos portille pitää päästä mahdollisimman nopeasti, kannattaako kengännauhat solmia lattialla, liukukäytävällä vai onko sillä mitään väliä?

Ratkaisu: Nauhat kannattaa solmia liukukäytävällä. Pulma voidaan ratkaista tietysti täysin matemaattisesti nopeuden, matkan ja ajan yhdistävää yhtälöä v=\displaystyle\frac{s}{t} hyödyntäen. Ei kuitenkaan mennä nyt ihan yksityiskohtiin, vaan tyydytään Alex Bellosin hienoon havainnollistukseen.

Oletetaan, että matkalla turvatarkastuksesta portille on ensin vain lattiaa ja sitten vain liukukäytävää. Sovitaan, että H. ja S. lähtevät yhtä aikaa kävelemään samalla nopeudella turvatarkastuksesta. Juuri ennen liukukäytävän alkua S. ryhtyy solmimaan kengännauhojaan. H. astuu vielä askeleen ja alkaa solmia nauhojaan liukukäytävän päällä. He ovat valmiit kenkiensä kanssa oleellisesti samaan aikaan, jonka jälkeen he jatkavat samalla nopeudella pitkin liukukäytävää. H. on kuitenkin ehättänyt jo edelle, eikä S. voi enää saada häntä kiinni.

0

Sinne ja takaisin

|

Sinnikkäät seikkailijat Johannes ja Toni patikoivat melko kaukaiselle vuorelle. Noustuaan vuoren laelle he palaavat omia jälkiään takaisin. Kaikkiaan herrojen reissuun menee kuusi päivää. Kiireettä fiilistellen he tallustelevat tasamaalla  neljän virstan päivänopeudella. Ylämäessä tahti hidastuu kolmeen virstaan päivässä, mutta alamäkeen he kulkevat kuusi virstaa päivässä. Kuinka pitkän matkan Johannes ja Toni kaikkiaan reissullaan kulkevat? Monenko päivän kuluttua (puolen vuorokauden tarkkuudella) he kääntyvät vuoren laelta takaisinpäin?

Kuva: Javier Díaz Barrera / Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)

Kuva: Javier Díaz Barrera / Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)

Ratkaisu: Jokainen virsta kuljetaan kahteen kertaan. Tasamaan kahteen virstaan kuluu aikaa puoli päivää, ja vastaavasti ylämäkeen kuljettu kolmannespäivän virsta ja alamäkeen kuljettu sama kuudennespäivän virsta kuluttavat yhteensä puolikkaan päivämatkan. Siis jokaisen puolen päivämatkan aikana kuljetaan kaksi virstaa, ja koska matkapäiviä oli kuusi, on matkan kokonaispituus 12\cdot 2 = 24 virstaa.

Jos koko matka olisi tasamaata, kuluisi 12 virstan menomatkaan kolme päivää. Jos koko matka olisi ylämäkeä, aikaa kuluisi neljä päivää. Todellinen matka-aika on siis jotain tältä väliltä, joten puolen päivän tarkkuudella matka huipulle kestää kolme ja puoli päivää.

Tämä pulma oli muunnelma Lewis Carrollin tarinasta teoksessa A Tangled Tale (Macmillan, 1885).