neliö

0

Kaarien rajaama ala

|

Sain viimein käsiini Thomas Poveyn pulmakirjan nimeltä Professor Povey’s Perplexing Problems (Oneworld Publications, 2015). Jo nopealla ensi silmäilyllä ja todella pintapuolisella selailulla kävi selväksi, että nyt on käsissä helmi. Poveyn mukaan kirjan ongelmat eivät vaadi mitään lukiotason matematiikkaa kummempia menetelmiä, mutta luovaa kykyä ongelmanratkaisuun kyllä kaivataan. Tässä yksi maistiainen kirjan sisällöstä. Näyttää ihan helpolta, mutta –

Neliön sivun pituus on 2a. Sen vastakkaisista kärjistä piirretään ympyränkaaret, joiden säteet ovat a ja 2a. Mikä on kaarien rajaaman alueen pinta-ala?Näyttökuva 2015-10-9 kello 18.39.21

 

 

0

Neliön ja ympyrän piiri – ratkaisu

|

Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä. Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä?

Tähän ongelmaan on olemassa monta hieman erilaista ratkaisutapaa. Muiden muassa Pythagoraan lauseen, kehäkulmien ja keskuskulmien sekä trigonometrian peruskaavan kautta vastaus voidaan päätellä. Tässä esittelemäni ratkaisulinja nojaa puolestaan yhdenmuotoisiin kolmioihin, ja koska siihen liittyy eräs elegantti tulos, on se mielestäni erityisen kiinnostava. Alun perin tämä ongelma ratkaisuineen tuli vastaan Colin Beveridgen blogissa.

Täydennettään alkuperäistä kuvaa hieman. Piirretään ympyrälle halkaisija EG, joka leikkaa neliön sivua CD pisteessä F. Merkitään neliön sivun pituudeksi a ja janan FG pituutta b. Yhdenmuotoisissa kolmioissahan vastinosien pituuksien suhde säilyy. Kolmioiden yhdenmuotoisuuden osoittamiseksi riittää näyttää, että kolmioissa on kaksi yhtä suurta vastinkulmaparia. Kuvan kolmiot FED ja FCG ovat yhdenmuotoiset, sillä kulma F on molemmissa suora ja lisäksi molemmista kolmioista löytyy samaa kaarta DG vastaavat kehäkulmat, jotka kehäkulmalauseen mukaan ovat yhtä suuret.

Nyt, koska vastinsivujen suhde säilyy, saadaan yhtälö \frac{EF}{FD}=\frac{CF}{FG}, eli \frac{a}{\frac{1}{2}a}=\frac{\frac{1}{2}a}{b}, josta b=\frac{1}{4}a, eli ympyrän halkaisija on \frac{5}{4}-kertainen neliön sivuun verrattuna. Tästä seuraa se, että ympyrän piiri on \frac{5\pi}{4}a, joka on hieman vähemmän kuin neliön piiri 4a.

Minun mielestäni ratkaisun hienous perustuu juuri tähän yhdenmuotoisten kolmioiden käyttöön, sillä se tekee ratkaisusta hyvin lyhyen ja suoraviivaisen. Itse asiassa tässä hyödynnetään kaikille jännenelikulmioille yhteistä ominaisuutta: lävistäjien leikkauspiste jakaa lävistäjät siten, että leikkautuvien osien tulo on vakio. Tämä tulos saadaan välittömästi yhdenmuotoisista kolmioista, olipa jännenelikulmio millainen tahansa. Tulosta voi kokeilla oheisella Geogebra-appletilla pisteitä liikuttelemalla.