murtoluvut

Ensin huomataan, että

$\frac{\frac{1}{50}}{1-\frac{1}{50}}=\frac{\frac{1}{50}}{\frac{49}{50}}=\frac{1}{49}.$

Siis geometriseksi sarjaksi kehiteltynä

$\frac{1}{49}=\frac{1}{50}+\left(\frac{1}{50}\right)^2+\left(\frac{1}{50}\right)^3+\left(\frac{1}{50}\right)^4+\ldots .$

Jos näin muodostuvaa desimaalilukua käsitellään kahden desimaalin palasina, ovat jälkimmäiset kaksi aina yhden viideskymmenesosan eli kaksi sadasosaa edellisistä. Käytännön laskutoimituksissa tämä johtaa yllättävän helppoon desimaalikehitelmän muodostamiseen. Toimi seuraavasti:

Kerro osoittaja kahdella. Kaksi ensimmäistä desimaalia on tässä. Jos tulos on vähintään 50, lisää siihen 1. Jos tulos on vähintään sata, jätä ykkönen alusta pois. Jos tulos on alle 10, lisää nolla eteen.
Kerro edelliset kaksi desimaalia kahdella. Jos tulos on vähintään 50, lisää siihen 1. Jos tulos on vähintään sata, jätä ykkönen alusta pois. Jos tulos on alle 10, lisää nolla eteen.
Ja niin edelleen.

Tämä algoritmi todella toimii! Ja jossain vaiheessa se jaksokin tulee kyllä vastaan – pakkohan sen on, koska kyseessä on ilmeinen rationaaliluku. (Jakson pituus tässä tapauksessa on muuten korkeintaan 42 numeroa.)

Otetaan esimerkiksi luku $\frac{18}{49}$ . Kerrotaan ensin osoittaja kahdella: $2\cdot 18=36$ . Luvun alku on siis 0,36. Edelleen $36\cdot 2 =72$ , mutta koska $72\geq 50$ , lisätään 1. Alku on siis 0,3673. Nyt $73\cdot 2=146$ , joten tästä jätetään ykkönen alusta pois. Olemme saaneet 0,367346. Ja kun tästä jatkamme, saamme

$\frac{18}{49}=0,367346938775510204081632\ldots.$

Kokeile nyt itse! Muodosta desimaalikehitelmät luvuille $\frac{11}{49}$ , $\frac{41}{49}$ ja $\frac{8}{49}$ .

Jos lukuja jaetaan 7:llä, liittyy näin muodostuviin desimaalikehitelmiin eräs hauska ominaisuus. Muodosta desimaalikehitelmät luvuille $\frac{1}{7}$ , $\frac{2}{7}$ , $\frac{3}{7}$ , $\frac{4}{7}$ , $\frac{5}{7}$ ja $\frac{6}{7}$ . Huomaatko? Käytä apuna taitoasi 49:llä jakamisessa.