Monty Hallin ongelma

2

Kolme rahakuorta

|

Seuraava pulma on jälleen Thomas Poveyn peruja. Se on sukua kuuluisalle Monty Hallin ongelmalle, mutta siinä on oma pieni lisämausteensa.

Saat kirjekuoren, jossa on tietty summa rahaa. Tämän jälkeen näytän sinulle kaksi muuta kuorta, joista toisessa on kaksinkertainen rahasumma ja toisessa puolet kirjekuoresi rahasummasta. Suljen kaksi muuta kuorta ja sekoitan ne niin, ettei niistä voi mitenkään päätellä, kumpi oli kumpi. Nyt sinulla on kaksi vaihtoehtoa: voit joko pitää nykyisen kuoresi tai vaihtaa jompaan kumpaan toisista kuorista. Mitä sinun kannattaisi tehdä?

Ratkaisu: Tutkitaan ongelmaa odotusarvon käsitteen kautta. Odotusarvo tarkoittaa eräänlaista satunnaisilmiön jakauman keskiarvoa, jota laskettaessa satunnaismuuttujan arvot painottuvat niiden todennäköisyyksien suhteessa.

Olkoon nyt kirjekuoressasi oleva rahasumma X. Näin ollen kahdessa muussa kuoressa olevat rahasummat ovat 2X sekä \frac{1}{2}X. Nyt on kaksi mahdollista tapausta.

  1. Et vaihda kuoria. Tällöin saamasi rahasumman odotusarvo on varmasti X.
  2. Vaihdat. Nyt voit todennäköisyydellä \frac{1}{2} saada kuoren, jossa on 2X, ja samoin todennäköisyydellä \frac{1}{2} kuoren, jossa on \frac{1}{2}X. Saamasi rahasumman odotusarvo on nyt \frac{1}{2}\cdot 2X+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}X=\frac{5}{4}X.

Näin ollen vaihto kannattaa.