mittakaava

0

Auringonpimennys

|

Seuraava pulma löytyi Greg Rossin mainiolta Futility Closet -sivustolta. Ross oli puolestaan löytänyt A. Kozlovin alkuperäisen pulman venäläisestä Kvant-lehdestä. Asiaan.

H. katselee lapsensa kanssa täydellistä auringonpimennystä. Lapsi kysyy H:lta, kuinka moninkertainen auringon etäisyys maasta on verrattuna kuun etäisyyteen. H. aprikoi hetken ja muistelee, että aurinko on noin 387 kertaa kauempana maasta kuin kuu. H:n lapsi, älykäs nuorukainen, pohtii hetken ja sanoo, että sittenhän hän osaa laskea, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. H. sanoo lapselle, että hän on oikeassa.

Viikon helppo pulma on selvittää, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. Viikon vaikea pulma on laskea se ilman laskinta.

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää auringon melko lailla tarkalleen, voidaan ajatella ne ovat yhdenmuotoiset kappaleet. Näin olleen niiden tilavuudet ovat verrannolliset etäisyyksien kuutioon, joten auringon tilavuus on 387^3-kertainen kuun tilavuuteen verrattuna.

Tässä viikon helppo. Viikon hieman haastavampi pulma oli laskea luku 387^3 ilman laskimen apua. Onnistuitko? Minä onnistuin.

Ensinnäkin 387^3=(400-13)^3, josta Pascalin kolmion avulla saadaan

    \[387^3=400^3-3\cdot 400^2\cdot 13+3\cdot 400\cdot 13^2-13^3.\]

Nyt

  • 400^3=64000000
  • 3\cdot 400^2\cdot 13=480000\cdot 13=4800000+3\cdot 480000=6240000
  • 13^3=(10+3)^3=1000+900+270+27=2197
  • 3\cdot 400\cdot 13^2=12\cdot 13^2\cdot 100=(2197-169)\cdot 100=202800

Siis

    \[387^3=64000000-6240000+202800-2197=57960603.\]

No, oliko tämän laskemisesta ilman laskinta mitään hyötyä? Ehkei, mutta sainpa ainakin itse aikani kulumaan uusintakokeita eräänä iltana koulullamme valvoessani.