loogiset ongelmat

0

Liikenneympyrä

|

Eipä olekaan hetkeen tullut käännetyksi Alex Bellosin pulmia, joten eiköhän liene korkea aika ottaa hänen tehtävälaaristaan yksi näppärä looginen ongelma. Bellos on saanut seuraavan pulman Pippa Suttonilta.

Adrian, Bruce, Clive, Dave ja Eddie ajavat ympyrää polkuautoilla, joiden rekisterinumerot ovat 1, 2, 3, 4 ja 5 (muttei välttämättä tässä järjestyksessä). He näkevät välittömästi edellään ja välittömästi takanaan ajavien rekisterinumerot, mutteivät omaansa. Lisäksi he kaikki ovat täydellisiä loogikkoja. He kuulevat kysymyksen:

”Ajatko autolla, jonka rekisterinumero on jonkin kokonaisluvun neliö?”

”En tiedä!” kuuluu vastaus kuin yhdestä suusta.

”Ajatko autolla, jonka rekisterinumero on jonkin kokonaisluvun neliö?” kuuluu kysymys uudestaan.

”En tiedä!” kaikki vastaavat, paitsi Eddie, joka vastaa ”En aja”.

Seuraavaksi ääni kysyy: ”Onko rekisterinumerosi suurempi kuin takanasi ajavalla?”

Dave huutaa, ettei tiedä. Tämän jälkeen Bruce ja Eddie sanovat, että ei ole, ja Adrian ja Clive toteavat, että on.

Mitkä ovat Adrianin, Brucen, Cliven, Daven ja Eddien rekisterinumerot?

Kuva: Tom/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Neliöitä rekisterinumeroista ovat 1 ja 4. Kukaan ei tietenkään voi tietää, ajaako itse neliönumeroisella autolla, mutta jos joku näkisi sekä edessään että takanaan neliön, voisi hän päätellä, että hän ei aja neliönumeroisella autolla. Ensimmäisellä kysymyksellä selviää, että kukaan ei näe kahta neliötä. Toisella kysymyksellä Eddie on onnistunut päättelemään, että koska kukaan ei näe kahta neliötä, eikä hän näe yhtään, että hänen autonsa ei ole neliönumeroinen. Eddien ilmoituksesta tiedetään myös heti, että autot 1 ja 4 kuuluvat Brucelle ja Clivelle, mutta järjestys ei vielä ole selvä.

Koska Dave ei tiedä, ajaako hänen takanaan häntä suurempi vai pienempi rekisteri, ei Cliven rekisteri voi olla 1. Siis Cliven rekisteri on 4 ja Brucen rekisteri on 1. Koska Eddie tietää, että hänen rekisterinsä on suurempi kuin Daven, ja koska Adrianin rekisteri on suurempi kuin Eddien, on Daven rekisteri 2, Eddien 3 ja Adrianin 5.

0

Rekursiivinen rekursio

|

Kollegani Petri Kuukkanen antoi minulle melkoisen pirulaisen ratkottavaksi. Näin se kuuluu:

Järjestä luvut 1, 2, 3, \ldots, 9 lukujonoksi a_1, a_2, a_3, \ldots, a_9 niin, että

  • a_2=2 ja
  • a_n=a_{a_{n-1}}-1, kun n=2, 3, \ldots, 9.

Kuva: Bird Eye/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Pulma on varsin originaali, en ole törmännyt aiemmin tällaiseen, eikä ole Petrikään, joka pulman on laatinut. Hän on myös tarkastanut, ettei pulmaan löydy kuin yksi ratkaisu. Tietenkinhän pulma voidaan ratkoa myös kokeilemalla, mahdollisia järjestyksiä on vain 8!=40320 kappaletta, mutta mekaaninen ratkaisu olisi vähän tylsä. Mennään siis loogisella päättelyllä tekemääni ratkaisuun.

Poimitaan helpot ensin. Jo tehtävänanto lupaa, että a_2=2. Tästä seuraa heti, että a_3=a_{a_2}-1=a_2-1=2-1=1.

Seuraavaksi joudutaan jo vähän pohtimaan. Koska rekursiokaavan mukaan a_n=a_{a_{n-1}}-1, kun n=2, 3, \ldots, 9, on a_n<a_{a_{n-1}}. Koska a_1 kuuluu rekursiokaavan ulkopuolelle, on tehtävä johtopäätös, että koko jonon suurin termi on a_1=9. Tämän perusteella puolestaan ratkeaa, että a_4=a_{a_3}-1=a_1-1=9-1=8. Edelleen, koska a_2=a_{a_1}-1=a_9-1, saadaan termiksi a_9=a_2+1=2+1=3.

Järjestämättä ovat vielä arvot 4, 5, 6 ja 7 termeiksi a_5, a_6, a_7 ja a_8. Koska a_5=a_{a_4}}-1=a_8-1 ja koska a_8=a_{a_7}-1, niin a_5=a_{a_7}-2. Nyt minulle tuli hetkeksi tenkkapoo, ja myönnänkin edenneeni seuraavaan vaiheeseen arvaamalla1. Käytettävissä olevien lukujen nojalla tämä jättää vaihtoehdot a_5=4 tai a_5=5. Näistä vaihtoehto a_5=4 johtaa ristiriitaan (kokeile vain!).

Kun a_5=5, on edellä olleen yhtälön nojalla a_8=6. Nyt myös a_6=a_{a_5}-1=a_5-1=5-1=4 ja vielä a_7=a_{a_6}-1=a_4-1=8-1=7.

Koko jono on siis

    \[a_1=9, a_2=2, a_3=1, a_4=8, a_5=5, a_6=4, a_7=7, a_8=6, a_9=3.\]

0

Paikat sekaisin

|

Teatterisalissa on 100 numeroitua paikkaa. Loppuunmyytyyn esitykseen ensimmäisenä saapuva H. hukkaa paikkalippunsa heti saliin päästyään, joten hän istuu sattumanvaraiselle paikalle. Tämän jälkeen kaikki muut istuvat omille paikoilleen, tai mikäli paikalla istuu jo joku, hekin asettuvat sattumanvaraiselle istuimelle. Millä todennäköisyydellä viimeisenä saliin saapuva Toni pääsee omalle paikalleen?

Kuva: Thomas Hawk/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Niin uskomattomalta kuin se kuulostaakin, Toni saa oman paikkansa 50 prosentin todennäköisyydellä. Lähdetään yksinkertaisesta tilanteesta: jos salissa olisi vain kaksi paikkaa, H. istuisi omalleen ja Tonin paikalle yhtä todennäköisesti. Mutta kun paikkojen määrää lisätään, ei edelleenkään ole väliä kuin näillä kahdella paikalla!

Jos H. istuu omalle paikalleen tai Tonin paikalle, istuvat kaikki muut oikeille paikoille. Jos taas H. istuu esimerkiksi Kössin paikalle, istuvat kaikki ennen Kössiä istuutuvat omille paikoilleen, ja vasta Kössin on päätettävä, minne istuu. Jos Kössi istuu H:n paikalle, saa Toni oman paikkansa, ja jos taas Kössi istuu Tonin paikalle, Toni ei saa sitä. Näissä molemmissa tapauksissa kaikki loput saavat olan paikkansa. Jos Kössi istuu muualle, esimerkiksi Emilian paikalle, on Emilian hänen jälkeensä tehtävä aivan vastaava ratkaisu. Eli lopullisia päätöksiä on ainoastaan kaksi: istuako H:n paikalle vai Tonin paikalle, muut päätökset matkan varrella vain pitkittävän tämän päätöksen hetkeä.

0

Tulilanka palaa!

|

Kahdesta tulilangasta tiedetään, että kun ne sytytetään jommasta kummasta päästä, niiltä kestää palaa loppuun täsmälleen tunnin verran. Lankojen sisäinen palonopeus on täysin sattumanvarainen ja jokainen lanka on erilainen. Kuinka näiden lankojen avulla mitataan 45 minuuttia?

Kuva: Epic Fireworks / Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Sytytä toinen lanka molemmista päistä ja toinen lanka toisesta päästä. Molemmista päistä sytytetyn langan loppuunpalamiseen kuluu 30 minuuttia. Sytytä tällöin toisenkin langan toinen pää, jolloin lanka palaa loppuun 15 minuutissa. Yhteensä paloaika on siis 45 minuuttia.

Tämä pulma tuli vastaan folj.com-sivustolla, mutta olen kyllä törmännyt siihen jossain muuallakin joskus.

1

Nimekäs lapsi

|

Herra H. tapasi kadulla entisen luokkatoverinsa, joka työnsi lastenvaunuja. He eivät olleet kohdanneet kertaakaan miltei 20 vuoteen. He kertoilivat kuulumisia tovin. Luokkatoveri oli oleskellut lähinnä Saksassa ja hänellä oli saksalainen puolisokin. H. kysyi, mikä oli heidän pienen tyttärensä nimi. Toveri kertoi heidän nimenneen tytön äitinsä mukaan. ”Hei, Laura!” H. sanoi vaunussa hymyilevälle tyttöselle. Miten H. tiesi hänen nimensä, vaikka ei tuntenut luokkatoverin puolisoa?

Ratkaisu: H:n luokkatoverin nimi oli Laura, joten tytönkin nimi oli Laura.

0

Kadonnut luku

|

kummalukuTämä erityisen kaunis pulma on peräisin Nob Yoshigaharalta (1930–2004), japanilaiselta ongelmaspesialistilta. Minä löysin sen jälleen kerran Alex Bellosin kautta.

Mikä luku sopii kysymysmerkin paikalle? Alhaalla oleva luku 7 ei ole virhe.

Ratkaisu: Puuttuva luku on 12. Se on siihen johtavien lukujen numeroiden summa, kuten kaikissa muissakin kohdissa.

0

Hullut Hattuset

|

Villellä, Miihkalilla ja Leolla on laatikossa viisi hattua: kaksi keltaista ja kolme punaista. He ottavat silmät kiinni laatikosta yhden hatun päähänsä ja sulkevat sen jälkeen laatikon. He eivät näe omaa hattuaan eivätkä laatikkoon jääneitä hattuja, mutta toistensa hatut he näkevät. Käydään seuraava keskustelu:

Leo: ”En tiedä hattuni väriä.”
Miihkali: ”En tiedä hattuni väriä.”
Ville (joka näkee kaksi punaista hattua): ”Tiedän hattuni värin!”

Minkä värinen hattu Villellä on?

Kuva: Tomi Palsa /Hattuset.net

Kuva: Tomi Palsa/Hattuset.net

Ratkaisu: Leo voisi tietää hattunsa värin ainoastaan, jos hän näkisi kaksi keltaista hattua. Miihkali tietää tämän, joten hän tietää, että Leo näki korkeintaan yhden keltaisen hatun. Leon hatun Miihkali näkee punaiseksi, joten keltainen hattu voi olla joko Miihkalin tai Villen päässä. Jos Villen hattu olisi keltainen, voisi Miihkali päätellä oman hattunsa punaiseksi, mutta koska hän ei näin voi tehdä, on Villelläkin pakko olla punainen hattu.

3

Järvinen, Mäkinen ja Virtanen

|

Sain käsiini Alex Bellosin upouuden pulmakirjan Can You Solve My Problems? (Guardian Books, 2016), jossa jäin ensimmäisen kerran jumiin heti ensimmäisellä sivulla (tästä ongelmasta myöhemmin lisää). Ensivaikutelma kirjasta on, että nyt ollaan pulmakirjallisuuden tulevan klassikon äärellä. Huippulaatua!

Mutta asiaan. Seuraava pulma löytyy Bellosin kirjasta. Se on laatinut Henry Ernest Dudeney, ja se on julkaistu vuonna 1930 lontoolaisessa The Strand Magazinessa.1 Dudeneyn pulma saavutti aikanaan maailmanlaajuisen suosion. Tässä se tulee.

Järvinen, Mäkinen ja Virtanen ovat junan kuljettaja, konduktööri ja myyjä, eivät tosin välttämättä tässä järjestyksessä. Sattumalta junassa matkustavat herrat Järvinen, Mäkinen ja Virtanen, joihin jatkossa viitataan arvonimellä herra. Tiedetään seuraavaa:

  • Herra Virtanen asuu Tampereella.
  • Myyjä asuu Tampereen ja Helsingin puolessavälissä.
  • Herra Mäkinen tienaa 70000 euroa vuodessa.
  • Järvinen voittaa konduktöörin biljardissa.
  • Myyjän seinänaapuri (eräs matkustajista) tienaa tasan kolminkertaisesti myyjään verrattuna.
  • Myyjän sukunimikaima asuu Helsingissä.

Viikon vaikea kysymys on tietenkin, että mikä on junan kuljettajan nimi.

Kuva: Tomi Lattu/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Tomi Lattu/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska Järvinen voittaa konduktöörin biljardissa, ei Järvinen ole konduktööri. Koska herra Mäkinen tienaa tasan 70000 euroa, ei hän voi olla myyjän seinanaapuri, koska 70000 ei ole kolmella jaollinen luku. Tämän vuoksi hänen on oltava Helsingissä asuva myyjän sukunimikaima, koska herra Virtanen asuu Tampereella. Myyjä on siis Mäkinen. Ja koska Järvinen ei ole myyjä eikä konduktööri, on hän junan kuljettaja.

0

Pöytätennispäivä

|

Hienoista hiljaiseloa viettänyt Pulmakulma palaa viimein syyslomalta kauniin pulman kanssa. Tämä löytyi jälleen Alex Bellosin palstalta The Guardianista.

Hannu, Kari ja Hristo viettävät koko päivän pöytätennistä pelaten. Säännöt ovat selvät: kahden pelatessa kolmas odottaa vuoroaan, voittaja jää pöydälle, häviäjä siirtyy odotusvuoroon. Päivän lopuksi he laskevat, montako peliä kukin on pelannut. Tulokset ovat seuraavat:

  • Hannu: 10 peliä
  • Kari: 15 peliä
  • Hristo: 17 peliä

Viikon helppo pulma on selvittää, kuka hävisi päivän toisen pelin.

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska 10+15+17=42 ja koska jokaisessa pelissä on kaksi pelaajaa, pelasivat Hannu, Kari ja Hristo päivän aikana 21 peliä. Kukin pelaaja on ollut mukana vähintään joka toisessa pelissä, joten riippuen siitä, onko pelaaja aloittanut peli- vai odotusvuorossa, on pelejä kerryttävä vähintään 11 tai 10. Koska Hannu on pelannut vain 10 peliä, on hän aloittanut lepovuorossa ja hävinnyt kaikki pelinsä. Toisen ottelun häviäjä on siis Hannu.

0

Kuninkaan yt-neuvottelut

|

Vierailimme vaimoni vanhassa kotitalossa, jossa tein huiman löydön: hänen vanhoista tavaroistaan löytyi kenenpä muunkaan kuin Lewis Carrollin The Complete Illustrated Lewis Carroll (Wordsworth Editions, 1996). Kirjaa selatessani törmäsin noin vuodelta 1870 peräisin olevaan Puzzles from Wonderland -tekstiin, jossa Carroll riimittelee hauskasti seitsemän pulmaa vastauksineen. Niistä viimeinen on tässä.1

Kuningas huomasi, että hänen rahansa olivat lähes lopussa, ja että hänen oli elettävä säästäväisemmin. Hän päätti irtisanoa suurimman osan neuvonantajistaan. Heitä oli satoja – hienoja vanhoja miehiä juhlavissa vihreissä samettiviitoissa, joissa oli kultaiset napit. Neuvonantajissahan ei varsinaisesti ollut muuta vikaa kuin että he puhuivat keskenään aivan ristiin, kun heidän neuvojaan kysyttiin; lisäksi he olivat järkyttävän kovia syömään ja juomaan. Kaikkiaan kuningas oli ihan tyytyväinen päästessään heistä eroon. Mutta valtakunnassa oli eräs ikivanha laki, jota kuningaskaan ei tohtinut rikkoa. Laki määräsi neuvonantajien määrästä seuraavaa:

”Seitsemän molemmista silmistä sokeaa:

Kaksi yhdestä silmästä sokeaa:

Neljä jotka näkevät molemmilla silmillä:

Yhdeksän jotka näkevät yhdellä silmällä.”

Mikä oli neuvonantajien vähimmäismäärä?

Kuva: Wikimedia Commons

Kuva: Wikimedia Commons

Ratkaisu: Neuvonantajia tarvitaan vähintään kuusitoista, sillä kokonaan sokea voidaan laskea toisesta silmästä sokeaksi ja kokonaan näkevä voidaan laskea toisella silmällä näkeväksi. Mutta annetaanpa Lewis Carrollin vastata ihan omin sanoin:

Five seeing, and seven blind
Give us twelve, in all, we find;
But all of these, ’tis very plain,
Come into account again.
For take notice, it may be true,
That those blind of one eye are blind for two;
And consider contrariwise,
That to see with your eye you may have your eyes;
So setting one against the other—
For mathematician no great bother—
And working the sum, you will understand
That sixteen wise men still trouble the land.