kulmanpuolittajat

0

Kulmanpuolittajien välinen kulma

|

Kuinka suuressa kulmassa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien puolittajat leikkaavat? Entä yleistyykö tämä tulos myös muihin kolmioihin?

Ratkaisu: kulmanpuolittajat

Tutkitaan kolmiota ABC, jonka kulma C on suora. Olkoot kulman A suuruus \alpha ja kulman B vastaavasti \beta. Näin ollen \alpha + \beta = 90^{\circ}. Tutkitaan sitten kulmanpuolittajien ja hypotenuusan rajaamaa kolmiota ABD. Nyt koska \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\delta=180^{\circ}, ja koska \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}, niin välttämättä \delta=135^{\circ}. Toinen kulmanpuolittajien välisistä kulmista on tämän vieruskulma, eli 45^{\circ}.

Tulos on aika hauska ja toimii selvästi kaikissa suorakulmaisissa kolmioissa. Ihan yhtä nätisti tämä tulos ei kaikkiin kolmioihin yleisty, sillä jos alkuperäisen kolmion kolmas kulma olisi \gamma, jäisi kulmanpuolittajien välisiksi kulmiksi tällöin 90^{\circ}+\frac{\gamma}{2} ja 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.