kompatehtävät

4

Missä isä on?

|

Lapsi on 21 vuotta äitiään nuorempi. Tasan kuuden vuoden kuluttua äidin ikä on täsmälleen viisinkertainen lapsen ikään verrattuna. Missä lapsen isä on?

Tämä hauska ongelma löytyi uusiseelantilaiselta FOLJ.com-pulmasivustolta, jonne viime viikon vaikean punnitusongelman vinkannut Johannes Jermakka minut johdatti.

Ratkaisu:

Olkoon lapsen ikä nyt x vuotta. Tällöin äidin ikä kuuden vuoden kuluttua on 27+x, ja koska se on viisinkertainen lapsen ikään verrattuna, saadaan yhtälö

    \[27+x=5(x+6),\]

jonka ratkaisu on x=-\frac{3}{4} vuotta eli -9 kuukautta. Näin ollen lapsen isä lienee juuri siellä, missä lapsen äitikin on.

 

1

Leikatun ja leikkaamattoman neliön palastelu

|

Tarkastellaan ensiksi kuviota, joka muodostuu, kun neliöstä leikataan oikeanpuoleinen yläneljännes pois. Pystytkö jakamaan sen neljäksi yhteneväksi (samankokoiseksi ja samanmuotoiseksi) kuvioksi?

Näyttökuva 2015-9-1 kello 18.45.57

Otetaan sitten sama neliö, mutta nyt leikkaamattomana. Pystytkö jakamaan sen viideksi yhteneväksi kuvioksi?

Näyttökuva 2015-9-1 kello 18.47.36

Tämä ongelma on vanha klassikko, josta minua muistutti matemaatikko James Grime Twitterissä. Grime on mainio esiintyjä, joka on poikennut Suomessakin kertoilemassa mm. Alan Turingista ja Enigma-salakirjoituslaitteen murtamisesta.

Neliö, josta on yksi neljännes leikattu, voidaan jakaa neljäksi yhteneväksi kuvioksi näin:

Näyttökuva 2015-9-1 kello 19.08.48

Toinen kysymys johtikin sitten jälleen puujalkavitsiosastolle. Sama neliö voidaan jakaa viiteen yhtenevään palaan esimerkiksi näin:

Näyttökuva 2015-9-1 kello 19.09.20

0

Kärpänen – ratkaisu

|

Auto ajaa 60 km/h. Sitä vastaan lähtee 100 kilometrin päästä mopo, jonka nopeus on 40 km/h. Auton etupuskurilta lähtee samalla hetkellä lentoon kärpänen, joka lentää 80 km/h kohti mopoa. Kun kärpänen saavuttaa mopon, se lähtee takaisin kohti autoa, jonka luona se kääntyy välittömästi kohti mopoa ja niin edelleen. Kuinka pitkän matkan kärpänen ehtii lentää ennen kuin auto ja mopo kohtaavat?

Auto ja mopo kohtaavat tunnin kuluttua lähdöstä. Siis kärpänen lentää 80 kilometriä. Kuten eräs vakiokommentaattori Twitterissä totesi, kannattaisi ehkä uskoa vähitellen #viikonhelppo-tunnistetta. Toki tämän ongelman voi ehkä ratkoa jollakin hankalammallakin tavalla…

Niin, ja ilmeisesti ongelmassa hämäsi myös sen epäluonnollisuus. Minulle valistettiin, että kärpäsen lentonopeus on oikeastaan noin 8 km/h. Mutta tämä olikin matemaattinen erikoiskärpänen. Pistemäinen, ja niin edelleen.

0

Pyöräilijän ja autoilijan kohtaus – ratkaisu

|

Pyöräilijä lähtee Tampereelta kohti Varkautta polkien tasaisella nopeudella. Tuntia myöhemmin Varkaudesta lähtee autoilija niin ikään tasaisella nopeudella kohti Tamperetta. Kun he kohtaavat, kumpi on lähempänä Tamperetta?

Tämä arvoitus herätti hieman hämmentynyttä vastakaikua, joten lienee tarpeen selventää, että kyseessä on tietenkin huumori. Me matemaatikot olemme hauskoja! Keksimme sellaisiakin vitsejä, että olkoon \epsilon < 0…

Vastaus on siis, että yhtä kaukanahan he Tampereelta ovat, kun he kohtaavat. Tässä siis oletetaan, että autoilija ja pyöräilijä ovat pistemäisiä, täsmälleen samalla reitillä kulkevia objekteja.

Tämä vitsi tuo mieleeni yhden toisen ongelman, joka löytyy lukiomatematiikan oppikirjoistakin. Ja tämän toisen ongelman ratkaisu on hieno, vaikkei ehkä samaan tapaan humoristinen. Tämä on ihan oikeasti matematiikkaa.

Siis: Retkeilijä lähtee tunturihotellilta kello 7 aamulla kohti autiotupaa, jossa hän on perillä kello 17 illalla. Seuraavana päivänä hän lähtee takaisin kohti tunturihotellia samaa reittiä kulkien kello 9 aamulla ollen perillä kello 15. Osoita, että hän voi molempina päivinä pitää evästauon täsmälleen samassa kohdassa täsmälleen samaan aikaan.

0

Lisää tyttöjä – ratkaisu

|

Eräässä teoreettisessa valtiossa haluttiin, että naisten osuus väestöstä kasvaisi. Niinpä valtion parlamentti hyväksyi lain, jonka mukaan kuhunkin perheeseen piti saada tyttölapsi. Jos perheeseen oli syntynyt tyttö, oli lasten hankkiminen lopetettava. Jos taas perheessä oli vain poikalapsia, oli lasten hankkimista jatkettava tytön syntymiseen asti. Oletetaan, että jokainen syntyvä lapsi on joko tyttö tai poika. Oletetaan myös, että tyttöjen ja poikien syntymätodennäköisyydet ovat samat. Kun populaation koko vähitellen tasoittuu, kuinka suureksi tyttöjen osuus syntyvistä lapsista kasvaa? Jatko-ongelmana voidaan pohtia, mikä on suurin mahdollinen tyttöjen osuus populaatiosta ja millä (riittävän humaaneilla) keinoilla se voidaan saavuttaa.

Ongelman ratkaisu on hyvin yksinkertainen, ja samalla saadaan vastaus myös jatko-ongelmaan. Jos nimittäin tyttöjen ja poikien syntymätodennäköisyydet ovat kuitenkin samat, on lapsista puolet tyttöjä ja puolet poikia, eikä suhde millään peukaloinnilla siitä muutu.

Asia voidaan järkeillä vielä vaikka seuraavasti. Perheiden ensimmäisistä lapsista puolet on tyttöjä, puolet poikia. Perheiden toisista lapsista puolet on tyttöjä ja puolet poikia. Perheiden kolmansista lapsista puolet on tyttöjä, puolet poikia. Ja niin edelleen. Puolet ja puolet.