kompatehtävät

4

Kaksoset

|

Oili ja Olli ovat kaksoset. Vähän aikaa sitten olin Ollin syntymäpäivillä. Kaksi päivää myöhemmin olin hänen isosiskonsa Oilin syntymäpäivillä. Miten tämä on mahdollista?

Kuva: John Tenniel (Wikimedia Commons)
Ratkaisu: Oili ja Olli ovat syntyneet Tyynenmeren yllä mannertenvälisellä lennolla Aasiasta Amerikkaan. Kun Oili syntyi, oli 1. maaliskuuta. Kun Olli syntyi hieman myöhemmin, lentokone oli juuri ylittänyt kansainvälisen päivämäärärajan, jonka itäpuolella oli yhä 28. helmikuuta. Synttärijuhlista on tarkemmin muisteltuna aikaa jo reilut kolme vuotta, sillä kahden päivän ero saadaan tietenkin karkausvuosina.
 
Tämä pulma marssi vastaan Alex Bellosin pulmapalstalta The Guardianista.

0

Ei ihan suorakulmainen kolmio

|

Suhteellisen pitkän tauon jälkeen on uuden pulman aika. Tämä pulma tuli (vähän eri muodossa) vastaan Presh Talwalkarin Mind Your Decisions -kanavalla YouTubessa.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 10 ja hypotenuusalle piirretty korkeusjana on 6. Miksei kolmion ala ole 30?

Ratkaisu: Suorakulmaisia kolmioita, joiden hypotenuusa on 10, on useita. Koska samaa kaarta vastaava kehäkulma on puolet keskuskulmasta, voidaan kaikki tällaiset kolmiot muodostaa siten, että suoran kulman kärki valitaan puoliympyrältä, jonka halkaisija on 10. Tällöin puoliympyrän säde on 5, mikä on myös suurin mahdollinen korkeusjanan pituus. Siis tehtävänannon mukaista kolmiota ei voi olla edes olemassa!

0

Keskinopea auto

|

H. haluaisi ajaa kahden kilometrin matkan 60 km/h keskinopeudella. Tietyön takia ensimmäinen kilometri sujuu kuitenkin vain keskinopeudella 30 km/h. Kuinka lujaa H:n pitää ajaa loppumatka?

Kuva: William Creswell / Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Kyllä vain, tämä oli kompa. Jos H. haluaa ajaa kaksi kilometriä keskinopeudella 60 km/h, on hänellä aikaa siihen kaksi minuuttia. Kuitenkin nopeudella 30 km/h kilometrin kulkeminen kestää juuri mainitun kaksi minuuttia, joten aika on jo käytetty, kun vauhtia voitaisiin kiihdyttää. H. ei siis pysty ajamaan kahta kilometriä kahdessa minuutissa mitenkään.

0

Varjostetun alueen ala

|

Melko pitkän tauon (anteeksi, ystävät!) jälkeen Pulmakulma aktivoituu jälleen. Twitterissä tuli vastaan Mandy Wandlingin jakamana hauska kompatehtävä. Laske oheisesta kuvasta varjostetun alueen pinta-ala. Laske se sen jälkeen uudestaan.

Ratkaisu: Alhaalla olevien pienten kolmioiden alat ovat \frac{5\cdot 10}{2}=25 ja huipulla olevan kolmion ala on \frac{15\cdot 24}{2}=180. Näin ollen varjostetun alueen ala on 25+25=180=230 neliömetriä. Helppoa, eikö vain?

Ongelmia tulee siinä tapauksessa, että olettaa koko kuvion olevan tasakylkinen kolmio. Sitähän se ei ole, sillä alaosan kylkien kulmakerroin on \frac{10}{5}=2 ja huippuosan puolestaan \frac{15}{12}=\frac{5}{4}. Siispä täysin mahdollisen näköinen ratkaisu \frac{34\cdot 25}{2}-10\cdot 24=185 on ilman muuta virheellinen. Mallikuvat ovat mallikuvia!

0

Kissat ja hiiret

|

Viisi kissaa saa kiinni viisi hiirtä viidessä minuutissa. Montako kissaa tarvitaan nappaamaan sata hiirtä sadassa minuutissa?

Kuva: Volodymyr Pavlyuk / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Viisi kissaa riittää.

2

Ohittelua

|

Juostaanpa kilpaa! Ollaan loppukirivaiheessa. Pari kiperää kysymystä:

  1. Ohitat toisena juoksevan. Monentenako olet nyt?
  2. Ohitat viimeisenä juoksevan. Monentenako olet nyt?

Perspektivet Museum/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Perspektivet Museum/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Näin helpossa kysymyksessä aivot meinaavat mennä ensin solmuun. Vastasitko ensin jompaan kumpaan kysymykseen väärin? Tunnusta vaikka kommenttikenttään. Toisena juoksevan ohitettuasi olet toisena, viimeistä et voi ohittaa!

Tämä mainio viikon vitsi löytyi loistavaksi pulmailulähteeksi osoittautuneesta Alex Bellosin Can You Solve My Problems -opuksesta.

2

Kielletty katse

|

Anneli katselee Börjeä, mutta Börje katselee Christinaa. Anneli on naimaton, mutta Christina on – varjelkoon! –  naimisissa. Onko skandaali valmis? Katseleeko naimaton naimisissa olevaa?

Kuva: Gordon Ross / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Gordon Ross / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Börjen parisuhdestatusta emme tunne, mutta skandaali tästä toden totta seuraa, sillä riippumatta Börjen siviilisäädystä naimaton katselee naimisissa olevaa. jos Börje on naimisissa, katsoja on Anneli, ja jos Börje ei ole naimisissa, hän itse katselee naimisissa olevaa Christinaa.

Vaikka loogisena ongelmana tämä ei ollutkaan kovin hankala, oikeastaan kompatehtävä, on sen ratkaisuperiaatteella muitakin sovellusalueita. Ongelma tuli vastaan mainion James Grimen esittämänä, ja erityisesti tässä videossa oleva lisäongelma valaisee periaatteen käyttömahdollisuuksia.

0

Kadonnut euro

|

Kolme ystävystä oli ravintolassa. Kun laskun maksamisen aika tuli, jokainen ystävyksistä maksoi yhteisestä laskusta 15 euroa käteisellä. Kassanhoitaja huomasi kuitenkin laskuttaneensa heiltä viisi euroa liikaa ja käski tarjoilijaa palauttamaan rahan ystävyksille. Tarjoilija huomasi kuitenkin, ettei hän pystynyt jakamaan ylimääräistä viitosta tasan ystävysten kesken, joten hän turvautui röyhkeään temppuun: hän antoi kullekin ystävyksistä vain euron takaisin ja jemmasi kaksi euroa taskuunsa.

Mutta hetkinen… Ystävykset ovat nyt siis saaneet kukin euron takaisin, eli he ovat maksaneet 14 euroa per nuppi, 3\cdot 14=42. Tähän lisätään tarjoilijan kähveltämät kaksi euroa, joten saadaan yhteensä 44 euroa. Mihin yksi euro hävisi?

Ratkaisu: Tämä klassikkokompa esiintyy monissa lähteissä erilaisin variaatioin. Vastaus on tietenkin, ettei euro häviä minnekään, vaan koko kysymys on väärin aseteltu lukijan hämmentämiseksi. Ystävykset maksavat 45 euroa. Kassanhoitaja palauttaa viisi euroa, josta tarjoilija vetää välistä kaksi. Kolme euroa palautuu ystävyksille. Nyt siis 45 eurosta ravintola saa 40, tarjoilija 2 ja ystävykset 3. Menitkö lankaan?

0

Pimeät sukat

|

Pimeän vaatehuoneen sukkalaatikossa on 16 punaista sukkaa ja 20 sinistä sukkaa. Montako sukkaa minun pitää vähintään laatikosta ottaa, jotta saan varmasti parin samanvärisiä sukkia?

No. Tämä oli ihan liian helppo. Laitetaan vähän lisää panoksia. Laatikossa on yhtä monta sinistä ja punaista sukkaa. Tiedetään, että pienin määrä, joka sukkia pitää nostaa laatikosta, jotta saataisiin ainakin kaksi samanväristä sukkaa, on sama kuin määrä, joka pitää nostaa, jotta saataisiin varmasti kaksi eriväristä sukkaa. Montako sukkaa laatikossa on?

Ratkaisu: Ensimmäisen kysymyksen vastaus on kolme. Toisen kysymyksen vastaus on neljä.

2

Tornikellon lyönnit

|

Tornikello lyö 12 kertaa 30 sekunnissa. Missä ajassa kello lyö kuusi kertaa?

Kuva: Mikko Paananen/Wikipedia

Ratkaisu: 

Tornikello lyö ensimmäisen kerran ajanhetkellä 0 sekuntia ja kahdennentoista kerran ajanhetkellä 30 sekuntia. Näiden hetkien väliin jää 11 lyönninväliä, joista viidennen jälkeen kello lyö kuudennen kerran. Näin ollen kello lyö kuusi kertaa \frac{5}{11}\cdot 30=\frac{150}{11}\approx 13,6 sekunnissa.

Tähän kirjoitan nyt vielä julkisen anteeksipyynnön lukion pitkän matematiikan ykköskurssilaisilleni, jotka täysin yksimielisesti vastasivat tähän kysymykseen väärin kurssikokeessaan viime viikolla. Tiesin hieman jekuttavani teitä. Anteeksi.