kombinaatiot

0

Pöytätennispäivä

|

Hienoista hiljaiseloa viettänyt Pulmakulma palaa viimein syyslomalta kauniin pulman kanssa. Tämä löytyi jälleen Alex Bellosin palstalta The Guardianista.

Hannu, Kari ja Hristo viettävät koko päivän pöytätennistä pelaten. Säännöt ovat selvät: kahden pelatessa kolmas odottaa vuoroaan, voittaja jää pöydälle, häviäjä siirtyy odotusvuoroon. Päivän lopuksi he laskevat, montako peliä kukin on pelannut. Tulokset ovat seuraavat:

  • Hannu: 10 peliä
  • Kari: 15 peliä
  • Hristo: 17 peliä

Viikon helppo pulma on selvittää, kuka hävisi päivän toisen pelin.

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska 10+15+17=42 ja koska jokaisessa pelissä on kaksi pelaajaa, pelasivat Hannu, Kari ja Hristo päivän aikana 21 peliä. Kukin pelaaja on ollut mukana vähintään joka toisessa pelissä, joten riippuen siitä, onko pelaaja aloittanut peli- vai odotusvuorossa, on pelejä kerryttävä vähintään 11 tai 10. Koska Hannu on pelannut vain 10 peliä, on hän aloittanut lepovuorossa ja hävinnyt kaikki pelinsä. Toisen ottelun häviäjä on siis Hannu.

2

Paras lottorivi

|

Lotto on Italiassa keksitty arpajaispeli. Suomessa Veikkaus aloitti lottoarvonnat vuonna 1970. Lotto vakiinnutti asemansa Suomessa nopeasti suosituimpana rahapelinä, ja edellen jokaviikkoiset miljoonapotit tuovat jännitystä suureen osaan suomalaisperheistä. Tämänkertaisessa viikon vaikeassa pulmassa puututaan kaikille tutun onnenpelin matematiikkaan.

Suomalaisessa lottoarvonnassa arvotaan numeroiden 1,2,3,\ldots , 39 joukosta sattumanvaraisessa järjestyksessä seitsemän numeroa, jotka sitten ilmoitetaan oikeana ”rivinä” pienimmästä suurimpaan. Esimerkiksi jos arvotut numerot olisivat olleet arvontajärjestyksessä 2,16, 32, 12, 1, 28 ja 17, ilmoitettaisiin voittorivinä 1, 2, 12, 16, 17, 28, 32. Mikä on todennäköisin voittorivin ensimmäinen numero? Mikä on todennäköisin toinen numero? Entä mitkä ovat todennäköisimmät kolmas, neljäs, viides, kuudes ja seitsemäs numero? Onko näin löydetty numerosarja kaikkein todennäköisin lottorivi?

Ratkaisu: Tehtävän ratkaisu perustuu tuloperiaatteeseen: jos jokin kokonaisuus voidaan toteuttaa k-vaiheisesti niin, että jokaisessa vaiheessa on n_k vaihtoehtoa, on erilaisten kokonaisuuksien lukumäärä n_1\cdot n_2\cdot \cdots \cdot n_k. Toinen tarvittava esitieto on n-alkioisen joukon k-alkioisten osajoukkojen, eli k-kombinaatioiden, lukumäärä. Tätä kombinaatioden lukumäärää merkitään \binom{n}{k} (luetaan ”n yli k:n”), ja se on

    \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Merkintä n! tarkoitttaa luvun n kertomaa, eli lukua n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1.

Olkoon n kokonaisluku, 1\leq n\leq 39 ja olkoon 1\leq p\leq 7 luvun n paikka rivissä. Rivin numerot ennen numeroa n voidaan valita \binom{n-1}{p-1} tavalla ja sen jälkeen tulevat \binom{39-n}{7-p} tavalla. Yhteensä rivejä, jossa numero n on paikalla p, on tuloperiaatteen mukaan \binom{n-1}{p-1}\cdot\binom{39-n}{7-p} kappaletta.

Tämän jälkeen annetaan taulukkolaskentaohjelman hoitaa työ loppuun. Tuloksena on, että todennäköisimmistä numeroista koottu rivi olisi 1, 7, 13  tai 14 (yhtä todennäköiset), 20, 26 tai 27, 33 ja 39. Kokonaista lottorivitaulukkoa pääset tarkastelemaan tästä.

Näistä numeroista muodostuvat neljä lottoriviä ovat kaikkein todennäköisimmät, mutta yhtä todennäköisiä ovat kaikki muutkin 15380933 mahdollista riviä.