kolikot

0

Kolikkopeli

|

Kuva: Mark Seton/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Tuomas ja Heikki pelaavat seuraavilla säännöillä kolikonheittopeliä. He heittävät (reilua, painottamatonta) kolikkoa, kunnes kolmella peräkkäisellä heitolla tulee joko heittosarja klaava-klaava-kruuna tai klaava-kruuna-kruuna. Tuomas voittaa ensimmäisessä ja Heikki jälkimmäisessä tapauksessa.

Millä todennäköisyydellä Tuomas voittaa pelin?

Kuva 1: Klaavaputki toimii Tuomaksen eduksi.

Ratkaisu: Tilannetta voidaan mallintaa monilla tavoilla. Tämäntyyppisissä ongelmissa tykkään itse yleensä lähteä piirtelemään tilannetta auki esimerkiksi puukaavion avulla. Merkitään kruunan heittämistä R:llä ja klaavan heittämistä L:llä. Koska kumpikin voittosarja alkaa klaavalla, voidaan olettaa, että ensimmäinen (relevantti) heitto on ollut klaava.

Jos toinenkin heitto on klaava, ollaan menossa kohti Tuomaksen voittoa (kuva 1). Nyt kruuna katkaisee pelin Tuomaksen eduksi, klaava jatkaa peliä, mutta pitää edelleen Tuomaksella ratkaisevan edun.

Kuva 2: Lisää Tuomaksen voittolinjoja.

Tuomaksen peli ei ole pelattu, vaikka seuraava heitto olisikin kruuna: yksi klaava lisää, ja tilanne palautuu olennaisesti samaksi kuin edellä (kuva 2).

Entäpä Heikin voittolinja tai voittolinjat? Mistä ne löytyvät? Heikki tarvitsee kaksi peräkkäistä kruunaa klaavan jälkeen. Jos saadan klaava, on Heikki aina kahden peräkkäisen onnistuneen heiton päässä voitosta. Tämä on ratkaiseva ero Tuomaksen hyväksi, sillä Tuomaksella voitto voi olla jo yhden heiton päässä. Kaikki sarjat, jossa kaksi klaavaa esiintyy peräkkäin johtavat lopulta Tuomaksen voittoon. Heikin voitto voi siis tulla vain seuraavilla heittosarjoilla: LRR, LRLRR, LRLRLRR, LRLRLRLRR jne. (kuva 3)

Kuva 3: Heikin voittolinjat.

Lasketaan nyt tarkalleen Heikin voittotodennäköisyys, josta Tuomaksen voittotodennäköisyys saadaan komplementtisääntöä käyttäen. Koska kolikko oli painottamaton, sekä kruunan että klaavan todennäköisyys on \frac{1}{2}. Koska peräkkäiset heittokerrat ovat toisistaan riippumattomat, voidaan Heikin voittosarjat laskea kertolaskusääntöä soveltaen. Koska tarkastelu voitiin siis aloittaa ensimmäisestä klaavasta, on heittosarjan LRR todennäköisyys sama kuin kahden peräkkäisen kruunan, eli \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. Vastaavasti heittosarja LRLRR saadaan todennäköisyydellä \left(\frac{1}{2}\right)^4 ja niin edelleen. Koska kaikki nämä heittosarjat ovat toisistaan riippumattomia, voidaan niiden yhteinen todennäköisyys laskea summana

    \[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left(\frac{1}{2}\right)^8+\cdots .\]

Tämä puolestaan on geometrinen sarja, jonka suhdeluku on \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}. Näin ollen Heikin voiton todennäköisyydeksi saadaan

    \[\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}.\]

Komplementtisäännön nojalla Tuomas voittaa nyt todennäköisyydellä 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Tämä pulma löytyi Colin Beveridgen loistavalta Flying colors maths -sivustolta, jolla hän esittelee pulmaan ratkaisun parista muusta näkökulmasta. Colin on myös mainion huumorintajuinen heppu, jonka tekstejä on aina ilo lukea. Säännöllisehkön Twitter-yhteydenpitomme pohjalta Colin on lisännyt joihinkiin teksteihinsä Big in Finland -tunnisteen. Aika velikultia.

0

Kolikonkääntötemppu

|

Edessäsi on 20 kolikkoa, joista 10 on kruunapuoli ylöspäin ja 10 klaavapuoli ylöspäin. Kolikoiden järjestys on satunnainen. Tehtävänäsi on jakaa kolikot kahteen kasaan niin, että niissä molemmissa olisi yhtä monta kruunaa ja yhtä monta klaavaa. Tehtävähän olisi naurettavan helppo, jos saisit katsoa kolikoita, mutta emmehän me sellaista salli.

Viikon vaikea pulma on hoitaa homma sidotuin silmin. Saat siirrellä kolikkoja haluamallasi tavalla ja käännellä niitä kummin päin hyvänsä. Kolikosta ei voi tunnustelemalla päätellä, onko se kruuna vai klaava. Ja nyt pitäisi siis tehdä kaksi kolikkoryhmää, joissa molemmissa olisi yhtä monta kruunaa ja yhtä monta klaavaa. Onnistutko?

Ratkaisu: Erota kymmenen kolikkoa ja käännä ne. Käännetyistä kolikoista yhtä moni on klaavoja kuin kääntämättömistä, samoin yhtä monta on kruunia kuin kääntämättömistä. Tämä on vanha matemaattinen trikki, josta esim. Martin Gardner on kirjoittanut. Hän tosin teki tempun korttipakalla.

0

Sata lanttia

|

Antti ja Petri pelaavat kiehtovaa rahapeliä: he ovat asettaneet sata kolikkoa riviin ja alkavat nostaa niitä yksi kerrallaan itselleen. Kolikot ovat kaikenlaisia viisisenttisistä kahden euron arvoisiin ja ne ovat satunnaisessa järjestyksessä. Sääntöihin kuuluu, että vuorollaan saa ottaa vain rivin reunimmaisen kolikon; kummasta tahansa päästä riviä saa nostaa.  Pelin voittaa se, kumpi saa kerättyä enemmän rahaa.

Antti aloittaa. Osoita, että Antti voi kerätä aina vähintään yhtä paljon rahaa kuin Petri.

Kuva: Branko Collin / Flickr (CC BY-SA 2.0)

Kuva: Branko Collin / Flickr (CC BY-SA 2.0)

Ratkaisu: Numeroidaan kolikot yhdestä sataan. Antti voi halutessaan varmasti poimia kaikki parilliset tai kaikki parittomat kolikot, sillä hänen haluamansa järjestysluku löytyy varmasti aina joko jonon kärjestä tai hänniltä. Niinpä hänen riittää aluksi vain katsoa, kummat kolikot kannattaa valita.

Jos kolikoita olisi yksi enemmän, etu voi siirtyä Petrille, vaikka hän saisikin yhden kolikon vähemmän kuin Antti. Jos parillisten ja parittomien arvojen ero on suurempi kuin Antin ensimmäisen kolikon arvo, 101 kolikon pelissä Petri ei ainakaan häviäisi.