kertolasku

0

Istumapaikka

|

Kuva: Rob Stanley/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Mikko istuu suuressa loppuunmyydyssä suorakulmion muotoisessa katsomossa1. Hänen edessään olevilla riveillä istuu 175 henkeä ja takanaan olevilla riveillä 400 henkeä. Sarakkeissa Mikon vasemmalla puolella istuu 312 henkeä ja oikealla puolella 264 henkeä. Monennenko rivin monennellako paikalla Mikko istuu?

Ratkaisu: Pulman ratkaisu piilee jaollisuudessa. Aloitetaan tutkimalla Mikon edessä olevia 175 paikkaa. Nyt luvun 175 alkutekijähajotelma on 175=5^2\cdot 7, joten järkeviä mahdollisuuksia Mikon eteen ovat vain 7 riviä, joilla on 25 paikkaa kullakin, tai 5 riviä, joilla on 35 paikkaa, tai toisinpäin.

Mikon takana tilanne on hieman monimutkaisempi: alkutekijähajotelmaksi saadaan 400=2^4\cdot 5^2, mutta koska 35 ei ole luvun 400 tekijä, jää parhaaksi vaihtoehdoksi, että Mikon takana olisi 16\cdot 25 paikkaa.

Tarkastellaan sitten sivuja. Nyt 312=2^3\cdot 3\cdot 13 ja 264=2^3\cdot 3\cdot 11. Näistä hyvät paikkamääräkombinaatiot ovat 13\cdot 24=312 ja 11\cdot 24=264.

Yhdessä näistä voidaan päätellä, että salissa pitäisi olla 24 riviä ja 25 saraketta, ja edelleen Mikon paikka on 8. rivillä, 14. sarakkeessa.

Voidaan myös helposti huomata, että jos lasketaan Mikon edestä ja takaa löytyvät paikat yhteen, saadaan 175+400=575 paikkaa lukuunottamatta riviä, jolla Mikko istuu, ja sivuilta laskien 312+264=576 paikkaa lukuunottamatta saraketta, jossa Mikko istuu. Näin ollen sarakkeita on oltava yksi enemmän kuin rivejä.

Tämä pulma on peräisin Daniel Grillerin uudesta kirjasta Elastic Numbers, jota ovat suitsuttaneet ainakin Alex Bellos ja Matthew Scroggs – molemmat miehiä, joiden pulmasuosituksiin kannattaa tarttua. Niinpä kyseinen opus koristaakin työpöytääni toivottavasti jo tulevalla viikolla!

0

Vedamatematiikkaa

|

Swāmī Bhāratī Kṛṣṇa Tīrtha (1884–1960) oli intialainen uskonoppinut ja matemaatikko, joka väitti kaiken matematiikan löytyvän muinaisista hindulaisista Veda-kirjoituksista johdetuista 16 suurasta ja 13 apusuurasta. Uskoo ken tahtoo (siis sen, mitä Swāmī Bhāratī Kṛṣṇa Tīrtha 1950-luvun lopulla kirjoittamassaan teoksessa väitti), mutta joka tapauksessa nämä yksinkertaiset säkeet antavat muutamia erittäin käyttökelpoisia – ja nopeita! – kikkoja päässälaskuun.

Keskitytään nyt toiseen suuraan, jonka nimi on Nikhilam Navatashcaramam Dashatah1. Se tarkoittaa suunnilleen, että ”kaikki yhdeksästä ja viimeinen kymmenestä”. Siinä kerrotaan kaksi lukuavedamatikka keskenään käyttäen apuna niiden etäisyyttä lähimmästä kymmenen potenssista. Kaksinumeroisilla luvuilla laskettaessa käytetään referenssilukuna sataa, kolminumeroisilla tuhatta ja niin edelleen. Otetaan esimerkiksi tulo 78\cdot 97. Kirjoitetaan luvut allekkain ja laitetaan niiden viereen toiseen sarakkeeseen niiden etäisyydet luvusta 100. Nyt tulon kaksi viimeistä numeroa saadaan kertomalla oikeanpuoleisen sarakkeen luvut keskenään: -22\cdot (-3)=66. Jos tässä tulossa olisi enemmän kuin kaksi numeroa, menisivät sadat muistinumeroiksi alkuosuuteen, eli esimerkiksi jos oltaisiin saatu 840, olisivat viimeiset kaksi numeroa 40 ja 8 lisättäisiin tulon alkuosuuteen. Vastaavasti jos tässä tulossa olisi vähemmän kuin kaksi numeroa, lisättäisiin nollia eteen.

Toisessa vaiheessa voidaan edetä neljällä eri tavalla, jotka kaikki tuottavat saman tuloksen. Voidaan laskea saman diagonaalin luvut yhteen. Tai voidaan laskea yhteen vasemmanpuoleisen sarakkeen luvut ja vähentää 100. Tai edelleen voidaan laskea oikeanpuoleisen sarakkeen luvut yhteen ja lisätä 100. Kuinka tahansa toimitaankaan, tulos on aina sama: 78-3=97-22=78+97-100=-22-3+100=75. Tulon kaksi ensimmäistä numeroa ovat siis 75. Ja kaikkiaan 78\cdot 97=7566, kuten kuka tahansa voi tarkistaa.

Viikon helppona tehtävänä on osoittaa, miksi tämä menetelmä toimii aina kaksinumeroisille luvuille.

Entäpä jos tehtävänä olisikin laskea vaikkapa 103\cdot 87? Tai 514\cdot 522? Viikon vaikea pulma on miettiä, miten tätä samaa tekniikkaa voisi soveltaa myös näihin tuloihin.

Tämä temppu parin sukulaisensa kanssa tuli vastaan Alex Bellosin (ainakin ensimmäisen puoliskonsa perusteella aivan loistavassa) kirjassa Alex’s Adventures in Numberland (Bloomsbury, 2010).

0

Venäläisen talonpojan kertolasku – ratkaisu

|

Otetaan esimerkiksi vaikkapa tulo 117\cdot 324. Homma toimii seuraavasti: jaetaan toista luvuista toistuvasti kakkosella. Jakojäännöksestä ei tarvitse välittää, vain kokonaiset lasketaan. Näin edetään, kunnes ollaan päästy ykköseen. Viereiseen sarakkeeseen aletaan puolestaan kertoa toista luvuista toistuvasti kakkosella. Kun ollaan päästy yhtä pitkälle kuin vasemmalla, vedetään yli kaikki ne luvut, jotka vastaavat parillista lukua vasemmanpuoleisessa sarakkeessa. Jäljelle jäävät luvut lasketaan yhteen, ja halutun tulon arvo on saatu. Kysymys kuuluu, miksi tämä menetelmä toimii mille tahansa kokonaislukujen tulolle.

Venäläisen talonpojan kertolaskun taustalla on lukujen binääriesitys. Binäärijärjestelmä toimii aivan kuten meille tuttu kymmenjärjestelmäkin, mutta kymmenen sijaan kantalukuna on luku 2. Kun siis esimerkiksi

    \[17034=1\cdot 10^4+7\cdot 10^3+0\cdot 10^2+3\cdot 10^1+4\cdot 10^0,\]

on binääriesityksessä käytettävissä vain numerot 0 ja 1. Siis vaikkapa 23 on binäärilukuna 10111, koska

    \[23=16+4+2+1=1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot2^1+1\cdot 2^0.\]

Näyttökuva 2015-8-29 kello 20.37.00

Miten tämä sitten liittyy venäläisen talonpojan kertolaskuun? Ideana on muodostaa toisen tulontekijän binääriesitys ja kertoa sillä tulon toista tekijää. Binääriesityksen muodostaminen luvulle on helppoa. Jaetaan luku ensin toistuvasti kakkosella, kunnes jäljellä on vain ykkönen. Luetaan binääriesitys alhaalta ylöspäin. Jos jaon tulos on ollut pariton (eli jakojäännös on jäänyt), on tarvittava bitti 1, jos taas jako on parillinen, bitiksi valitaan 0. Näin voidaan selvästi toimia riippumatta siitä, mikä kokonaisluku on kyseessä.

Näin toimien huomaame luvun 117 binääriesityksen olevan 1110101, sillä 

    \[117=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0.\]

Nyt laskemamme laskutoimitus onkin periaatteessa 324\cdot (2^0+2^2+2^4+2^5+2^6) eli

    \[324+324\cdot 4+324\cdot 16+ 324\cdot 32+324\cdot 64,\]

joka tietenkin on oikeanpuoleisten yliviivaamattomien lukujen summa. Hauskaa ja melko helppoa, eikö?

Binääriluvuilla on lukematon määrä sovelluksia. Jos mainitsen niistä yhden, voi kukin päätellä niitä jokusen lisää. Nimittäin kaikki maailman tietokoneet perustuvat binäärijärjestelmään.

2

Venäläisen talonpojan kertolasku

|

Satun tykkäämään kovasti päässälaskusta ja erilaisista siihen liittyvistä tempuista. Mielestäni sopivan isojen lukujen kertolasku päässä on mainio tapa vaivata hoksottimiaan. Lisäksi päässälasku avaa tehokkaasti erilaisia yhteyksiä lukujen välillä ja kaiken kaikkiaan laajentaa matemaattisen ymmärryksen ja osaamisen skaalaa. Ja hei, jos jokin asia on yksinkertaisesti hauskaa, miksipä sitä ei harrastaisi!

Nyt päässälaskusta on tulossa hyvin ajankohtainen asia myös lukiossa, sillä Ylioppilastutkintolautakunta on keväästä 2016 alkaen uudistamassa sekä lyhyen että pitkän matematiikan koetta. Jatkossa kokeen neljään ensimmäiseen tehtävään vastataan ilman laskimia – avaus, joka ainakin oman kouluni kollegojen keskuudessa on otettu ehdottomasti oikeana ilolla vastaan. Meidän kokeissamme päässälaskuosio on ollut varsinkin alkupään kursseilla mukana jo muutamia vuosia. Odotan kiinnostuneena, kuinka tymäkkää matematiikkaa YTL abiturienteille neljään ensimmäiseen tehtävään tarjoilee.

Mutta asiaan. Selailin tovi sitten Theoni Pappasin hienoa opusta Lisää matematiikan iloja (Terra Cognita 2001), kun silmiini sattui mielenkiintoinen tapa laskea hieman helpotetusti suurehkojen lukujen tuloja – jos ei nyt ihan puhtaana päässälaskuna, niin sutjakasti kynällä ja paperilla kuitenkin. Pappasin mukaan kyseistä menetelmää kutsutaan venäläisen talonpojan kertolaskuksi.

Näyttökuva 2015-8-29 kello 20.37.00Otetaan esimerkiksi vaikkapa tulo 117\cdot 324. Homma toimii seuraavasti: jaetaan toista luvuista toistuvasti kakkosella. Jakojäännöksestä ei tarvitse välittää, vain kokonaiset lasketaan. Näin edetään, kunnes ollaan päästy ykköseen. Viereiseen sarakkeeseen aletaan puolestaan kertoa toista luvuista toistuvasti kakkosella. Kun ollaan päästy yhtä pitkälle kuin vasemmalla, vedetään yli kaikki ne luvut, jotka vastaavat parillista lukua vasemmanpuoleisessa sarakkeessa. Jäljelle jäävät luvut lasketaan yhteen, ja halutun tulon arvo on saatu.

Kysymys kuuluukin, että miksi tämä menetelmä toimii mille tahansa kokonaislukujen tulolle. Ratkaisu on tässä.