Hilbertin hotelli

0

Kuinka monta rationaalilukua on – ratkaisu

|

Näyttää siltä, että luonnollisia lukuja on tuplasti enemmän kuin parillisia luonnollisia lukuja, mutta itse asiassa onkin niin, että niitä on ”yhtä äärettömästi”. Mikä olisi kätevä tapa osoittaa tämä?

Rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, eli kun valitaan mitkä tahansa kaksi reaalilukua, niin niiden väliin mahtuu aina rationaaliluku. Tämä ominaisuus ei selvästikään ole esimerkiksi luonnollisilla luvuilla voimassa. Mutta voitaisiinko silti osoittaa, että rationaalilukuja on ”yhtä äärettömästi” kuin luonnollisia lukuja?

Toimiva ratkaisu joukkojen osoittamiseksi yhtä mahtaviksi (eli joukoiksi, joissa on yhtä monta alkiota) on näyttää, että joukkojen välille voidaan muodostaa niin kutsuttu bijektio. Tämä tarkoittaa sitä, että joukkojen alkioiden välille voidaan muodostaa 1–1-vastaavuus. Hieman toisin tulkittuna kyse on siis funktion ja sen käänteisfunktion olemassaolosta tarkasteltavien joukkojen välillä.

Luonnollisten lukujen ja parillisten luonnollisten lukujen välille 1–1-vastaavuuden löytäminen on yksinkertaista:

    \[\begin{array}{ccccccccc} 0&1&2&3&4&5&6&7&\ldots\\ \updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\\ 0&2&4&6&8&10&12&14&\ldots \end{array}\]

Samaa ideaa voidaan välittömästi laajentaa myös muihin joukkoihin. Esimerkiksi kokonaislukujen ja luonnollisten lukujen joukot ovat selvästi yhtä mahtavia.

Miten sitten osoitetaan rationaaliluvut yhtä mahtavaksi joukoksi luonnollisten lukujen kanssa? Yksi tunnettu menetelmä on seuraavassa. Tutkitaan ensin positiivisten kokonaislukujen ja positiivisten rationaalilukujen yhteyttä. Muodostetaan positiivisista kokonaisluvuista oheinen taulukko.

    \[\begin{array}{c|cccccccc} &1&2&3&4&5&6&7&\ldots\\ \hline 1&\frac{1}{1}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7}&\ldots\\ 2&\frac{2}{1}&\frac{2}{2}&\frac{2}{3}&\frac{2}{4}&\frac{2}{5}&\frac{2}{6}&\frac{2}{7}&\ldots\\ 3&\frac{3}{1}&\frac{3}{2}&\frac{3}{3}&\frac{3}{4}&\frac{3}{5}&\frac{3}{6}&\frac{3}{7}&\ldots\\ 4&\frac{4}{1}&\frac{4}{2}&\frac{4}{3}&\frac{4}{4}&\frac{4}{5}&\frac{4}{6}&\frac{4}{7}&\ldots\\ 5&\frac{5}{1}&\frac{5}{2}&\frac{5}{3}&\frac{5}{4}&\frac{5}{5}&\frac{5}{6}&\frac{5}{7}&\ldots\\ 6&\frac{6}{1}&\frac{6}{2}&\frac{6}{3}&\frac{6}{4}&\frac{6}{5}&\frac{6}{6}&\frac{6}{7}&\ldots\\ 7&\frac{7}{1}&\frac{7}{2}&\frac{7}{3}&\frac{7}{4}&\frac{7}{5}&\frac{7}{6}&\frac{7}{7}&\ldots\\ 8&\frac{8}{1}&\frac{8}{2}&\frac{8}{3}&\frac{8}{4}&\frac{8}{5}&\frac{8}{6}&\frac{8}{7}&\ldots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array}\]

Aletaan nyt käydä tätä taulukkoa läpi järjestelmällisesti vasemmasta yläkulmasta alkaen aina diagonaali kerrallaan ja vaihdetaan aina reunalle päästyämme suuntaa. Hypätään yli kaikki ne rationaaliluvut, jotka eivät ole yksinkertaisimmassa mahdollisessa muodossa. Saadaan siis jono 1, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, (hypätään yli \frac{2}{2}=1), 3, 4, \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, (hypätään yli \frac{2}{4}, \frac{3}{3} ja \frac{4}{2}), 5, 6, \frac{5}{2} ja niin edelleen.

Näin jatkamalla tulee selvästi jokainen positiivinen rationaaliluku käydyksi läpi. Ja koska ne voidaan siis luetella järjestyksessä, on niiden ja positiivisten kokonaislukujen 1, 2, 3, 4, \ldots välillä ilmeinen 1–1-vastaavuus. Pienellä vaivalla myös nolla sekä negatiiviset rationaaliluvut saadaan otettua mukaan luetteloon. Siis rationaalilukuja on ”yhtä monta” kuin luonnollisia lukuja.

Eräs tämän ongelman kiehtovia variaatioita tunnetaan esittäjänsä David Hilbertin mukaan nimellä Hilbertin hotelli. Siihen voi tutustua vaikkapa tästä.