fysiikka

0

Sinne ja takaisin

|

Sinnikkäät seikkailijat Johannes ja Toni patikoivat melko kaukaiselle vuorelle. Noustuaan vuoren laelle he palaavat omia jälkiään takaisin. Kaikkiaan herrojen reissuun menee kuusi päivää. Kiireettä fiilistellen he tallustelevat tasamaalla  neljän virstan päivänopeudella. Ylämäessä tahti hidastuu kolmeen virstaan päivässä, mutta alamäkeen he kulkevat kuusi virstaa päivässä. Kuinka pitkän matkan Johannes ja Toni kaikkiaan reissullaan kulkevat? Monenko päivän kuluttua (puolen vuorokauden tarkkuudella) he kääntyvät vuoren laelta takaisinpäin?

Kuva: Javier Díaz Barrera / Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)

Kuva: Javier Díaz Barrera / Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)

Ratkaisu: Jokainen virsta kuljetaan kahteen kertaan. Tasamaan kahteen virstaan kuluu aikaa puoli päivää, ja vastaavasti ylämäkeen kuljettu kolmannespäivän virsta ja alamäkeen kuljettu sama kuudennespäivän virsta kuluttavat yhteensä puolikkaan päivämatkan. Siis jokaisen puolen päivämatkan aikana kuljetaan kaksi virstaa, ja koska matkapäiviä oli kuusi, on matkan kokonaispituus 12\cdot 2 = 24 virstaa.

Jos koko matka olisi tasamaata, kuluisi 12 virstan menomatkaan kolme päivää. Jos koko matka olisi ylämäkeä, aikaa kuluisi neljä päivää. Todellinen matka-aika on siis jotain tältä väliltä, joten puolen päivän tarkkuudella matka huipulle kestää kolme ja puoli päivää.

Tämä pulma oli muunnelma Lewis Carrollin tarinasta teoksessa A Tangled Tale (Macmillan, 1885).

0

Juokseva koira – ratkaisu

|

Koira lähtee juoksemaan vakionopeudella 50 metriä pitkän jonon perältä kohti jonon kärkeä. Jono lähtee samaan aikaan liikkeelle, myös vakionopeudella. Kun koira saavuttaa jonon kärjen, se kääntyy välittömästi takaisin (oletetaan siis, että tähän ei kulu aikaa) ja jatkaa matkaansa samalla vakionopeudella kohti jonon häntää. Kun koira saavuttaa jonon hännän, on jono edennyt 50 metriä. Kuinka pitkän matkan koira juoksi?

Juoksevan koiran ongelman ratkaiseminen vaatii hieman yksinkertaista ymmärrystä fysiikasta (mikä kuvaa täsmälleen omaa tasoani) sekä lievää luovuutta käytettävien yksiköiden kanssa. Päärooli on nopeuden, matkan ja ajan välisellä perusyhteydellä v=\frac{s}{t}, josta saadaan, että aika t voidaan ilmaista t=\frac{s}{v}.

Aletaan ensin muokata käytettäviä yksiköitä meille sopiviksi. Olkoon 50 metriä 1 ”matka” ja olkoon ajan t yksikkönä ”aika, joka jonolta kuluu 1 matkan kulkemiseen”. Tällöin jonon nopeutta voidaan merkitä 1:llä.koiranratkaisuTutkitaan sitten koiran juoksemiseen kuluvaa aikaa. Jaetaan aika kahteen osaan, jonon kärjen saavuttamiseen t_1 ja jonon hännille palaamiseen t_2. Nyt siis t_1 on aika, jossa koira juoksee 50 metriä (eli yhden ”matkan”) jonoa enemmän. Merkitään koiran nopeutta  x, jolloin sen nopeus suhteessa jonoon on x-1. Näin ollen t_1=\frac{1}{x-1}. Vastaavasti paluumatkalla koiran nopeus suhteessa jonoon on x+1, joten t_2=\frac{1}{x+1}. Koska t_1+t_2=1, saadaan yhtälö, joka ratkaisee ongelman:  \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1.

Yhtälö saadaan muokattua muotoon x^2-2x-1=0. Tämän yhtälön juurista x=1\pm\sqrt{2} vain positiivinen vaihtoehto x=1+\sqrt{2} hyväksytään. Koiran nopeus on siis  (1+\sqrt{2}) 50 metrin matkaa ajassa, joka jonolta 50 metriin kuluu, joten ongelman vastaus on  (1+\sqrt{2})\cdot 50=120,71\ldots\approx 121 metriä.

Juoksevan koiran ongelma johtaa toiseen, hieman haastavampaan pulmaan: mitäpä, jos koira juoksisikin neliön muotoisen marssimuodostelman ympäri? Jos neliön sivu olisi 50 metriä ja muodostelma etenisi 50 metriä, kuinka pitkän matkan koira juoksisi? Ratkaisussa tarvittava yhtälö on vain hieman monimutkaisempi kuin tässä esitelty. Kokeilepa ratkaista, ja kerro tuloksistasi vaikkapa tämän blogin kommenttiosioon!

0

Juokseva koira

|

Pulmakulmani ensimmäinen ongelma on vanha Martin Gardnerin klassikko. Kuulin ongelman ensimmäisen kerran opetusharjoitteluni aikana eräältä lyhyen matematiikan opiskelijalta. Tässä onkin vinkki sen ratkaisemiseen: hirveän monimutkainen mallinnus ei ole tarpeen! Oli hauskaa katsoa, kun viisi yliopistotason fyysikkoa piirtelee taulun täyteen yhtälöitä parin päivän ajaksi ja takoo päätään seinään. Lopulta sangen yksinkertainen ja yleispätevä malli vie maaliin asti. Mutta asiaan.

Koira lähtee juoksemaan vakionopeudella 50 metriä pitkän jonon perältä kohti jonon kärkeä. Jono lähtee samaan aikaan liikkeelle, myös vakionopeudella. Kun koira saavuttaa jonon kärjen, se kääntyy välittömästi takaisin (oletetaan siis, että tähän ei kulu aikaa) ja jatkaa matkaansa samalla vakionopeudella kohti jonon häntää. Kun koira saavuttaa jonon hännän, on jono edennyt 50 metriä. Kuinka pitkän matkan koira juoksi?

Ongelman ratkaisu on tässä.