avaruusgeometria

0

Hitsattu kuutio

|

H. hankki metallitankoa, koska hänen oli tarkoitus tehdä kuution muotoinen kehikko. Hän ajatteli pätkiä tangon 12 yhtä pitkäksi palaksi ja sitten hitsata ne yhteen. Aina näppärä Tapsa kysyi, eikö tanko kannattaisi katkoa hieman pidemmiksi paloiksi ja taivutella palat suoriin kulmiin, jotta ihan niin montaa hitsauspistettä ei tarvittaisi.

Viikon helppo kysymys on, kuinka monesta kohdasta tällainen pidemmistä paloista vääntelemällä tehty kehikko vähimmillään tarvitsee hitsata.

Ratkaisu: Kuution jokaisessa kärjessä kohtaa kolme särmää, joten vaikka tankoa kuinka vääntelisi, on kuutio hitsattava kaikista kahdeksasta kärjestä.

0

Omenapora

|

Pitkän matematiikan syksyn 2015 ylioppilaskokeessa tehtävänä 7 kysyttiin seuraavaa:

Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.

Tehtävä on ihan hauska ja hyvä, mutta vielä hauskempi on tehtävän ilkeä äitipuoli. Jos olisin Martin Gardner, olisin kysynyt abiturienteilta näin:

Pallon muotoisen omenan läpi porataan kuusi senttimetriä pitkä reikä, joka kulkee pallon keskipisteen kautta. Kuinka suuri on jäljelle jäävän omenan tilavuus?

Kuva: Alan Levine/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Alan Levine/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu:

Lieriö pallossaPallo ja lieriö – poikkileikkaus

Omenapora leikkaa omenasta kappaleen, joka muodostuu suorasta ympyrälieriöstä, jonka korkeus on mainittu 6 cm, sekä kahdesta pallosegmentistä. Olkoon omenan säde R, lieriön säde r ja pallosegmentin korkeus h. Lieriö sijaitsee symmetrisesti omenan keskipisteen ylä- ja alapuolella, joten voimme piirtää oheisen poikkileikkauksen mukaisen kuvan. Nyt Pythagoraan lauseen nojalla R^2=3^2+r^2, eli r^2=R^2-3^2. Edelleen havaitaan, että pallosegmentin korkeus on h=R-3. Näistä huomioista saadaankin jo laskettua sekä lieriön että pallosegmentin tilavuudet:

    \[\begin{array}{rcl} V_l & = &\pi r^2\cdot 6=\pi(R^2-3^2)\cdot 6\\ & = & 6\pi R^2-54\pi;\\ V_{ps} & = & \pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\\ &=&\pi (R-3)^2\left(R-\frac{R-3}{3}\right)\\ & =&\frac{2}{3}\pi R^3-6\pi R^2+18\pi. \end{array}\]

Tämän jälkeen loppu on pelkkää sievennystä:

    \[\begin{array}{rcl} V_{omena} & =&V_{pallo}-V_l-2V_{ps}\\ &=&\frac{4}{3}\pi R^3-\left(6\pi R^2-54\pi\right)-2\left(\frac{2}{3}\pi R^3-6\pi R^2+18\pi\right)\\ &=&36\pi. \end{array}\]

Vastaus on siis – ehkä hieman yllättäen – omenan säteestä riippumaton vakio.

Jälkikirjoitus: Annoin tämän ongelman viime keväänä pohdittavaksi parille opiskelijalleni. Eräs heistä esitti ongelmaan sangen ketterän ratkaisun. Hän totesi, että pienentämällä reiän sädettä kohti nollaa on päädyttävä samaan ratkaisuun kuin missä muussa tapauksessa tahansa. Reiän ja pallosegmenttien hävitessä raja-arvona on pallo, jonka halkaisija on 6. Siispä jäljelle jäävä tilavuus on sama kuin 3-säteisen pallon, eli \displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=36\pi. Ratkaisu on sinänsä ovela oikotie, mutta se perustuu ehkä vähän kyseenalaiseen lisäoletukseen: voimmeko tehtävänannon perusteella luotettavasti päätellä, että kyseessä on ongelma, johon on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu?

0

Kuution sahaus – ratkaisu

|

Kuutio voidaan jakaa kuudella suoralla sahauksella 27 tasakokoiseksi pieneksi kuutioksi. Jos yksittäisen sahauksen jälkeen kuution osia voisi mielensä mukaan järjestellä uudelleen, olisiko mahdollista vähentää tarvittavien sahauksien määrää?

Sahauksien lukumäärää ei voi vähentää kuudesta. Keskimmäisessä kuutiossa on kuusi sahattavaa pintaa.

0

Kuution sahaus

|

Rubikin kuutio voidaan jakaa kuudella suoralla sahauksella 27 tasakokoiseksi pieneksi kuutioksi kuvan osoittamalla tavalla. Jos yksittäisen sahauksen jälkeen kuution osia voisi mielensä mukaan järjestellä uudelleen, olisiko mahdollista vähentää tarvittavien sahauksien määrää?

Tämäkin ongelma kumartaa kauniisti Martin Gardnerin suuntaan. Ratkaisu löytyy tästä.rubiks-cube-145949_640