alkuluvut

0

Puuttuva numero

|

Colin Beveridge (suuri suomalaisten ystävä, muuten!1) esitti blogissaan hauskan lukuongelman. Seitsemännumeroinen luku on kuuden peräkkäisen parillisen luvun tulo. Tiedetään, että sen kuusi viimeistä numeroa ovat 870720. Mikä on luvun ensimmäinen numero?

Ratkaisu: Kuten Colin Beveridgekin toteaa, olisi ratkaisu raa’alla voimalla, esim. ohjelmoimalla, tylsää. Tehdään jotain hauskempaa.

Kuuden peräkkäisen parillisen luvun tulo voidaan ilmoittaa muodossa

    \[2n\cdot 2(n+1)\cdot 2(n+2)\cdot 2(n+3)\cdot 2(n+4)\cdot 2(n+5).\]

Tekijöinä ovat siis 2^6 ja kuusi peräkkäistä kokonaislukua, n, n+1, n+2, n+3, n+4 ja n+5. Kuudesta peräkkäisestä luvusta täsmälleen kaksi on kolmella jaollisia, joten koko tulon on oltava yhdeksällä jaollinen. Edelleen luku on yhdeksällä jaollinen vain, jos sen numeroiden summa on yhdeksällä jaollinen. Ja koska 8+7+0+7+2+0=24, on puuttuvan numeron oltava 3. Kysytty luku voi siis olla vain 3870720.

Varmistetaan vielä, että tämä luku todella on kuuden peräkkäisen parillisen luvun tulo. Koska 2^6 on tekijä, saadaan tällä jakamalla 60480, jonka pitäisi nyt siis olla kuuden peräkkäisen luvun tulo. Jaetaan alkutekijöihin:

    \[60480=2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\]

.

Nyt on melko suoraviivaista alkaa päätellä tulon tekijöitä tästä. Koska 60480<10^6, eivät ainakaan kaikki tulon tekijät voi olla suurempia kuin 10. Alkutekijähajotelmasta puuttuu luku 11, joten tulon kaikkien tekijöiden on nyt itse asiassa välttämättä oltava tätä pienempiä.

Kuudesta peräkkäisestä luvusta aina täsmälleen kaksi on jaollisia kolmella, ja korkeintaan yksi yhdeksällä. Jotta 3^3 tulisi käytetyksi alkutekijähajotelmasta, on 9 välttämättä yksi tekijöistä. Toisen kolmella jaollisen tekijän on tällöin oltava 6. Koska kyse oli peräkkäisistä luvuista, myös 7 ja 8 ovat tekijöitä. Tämä jättää alkutekijöihin enää 2^2\cdot 5, eli peräkkäisten lukujen tulo on 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9=60480. Siis edelleen

    \[$8\cdot 10\cdot 12\cdot 14\cdot 16\cdot 18=3870720.\]