Keskinopea juna

3.2.2016 | Opettaja H.

Tavarajuna ajaa pysähtymättä $800$ kilometriä täsmälleen $80$ kilometrin keskituntinopeudella. Sen nopeus ei kuitenkaan pysy matkan varrella vakiona. Osoita, että juna ajaa jonkin $80$ kilometrin mittaisen pätkän matkastaan täsmälleen yhdessä tunnissa.

Tämä ongelma on jälleen Martin Gardneria parhaimmillaan, alkujaan Scientific American -lehden joulukuun 1979 numerosta.

Kuva: Henk Sijgers/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Jaetaan matka-aika kymmeneen tunnin mittaiseen pätkään. Jos juna kulkee jonkin näistä aikana täsmälleen $80$ kilometriä, on ongelma ratkaistu. Jos taas yhdessäkään näistä juna ei kulje täsmälleen $80$ kilometriä, valitaan kaksi peräkkäistä pätkää, joista toisen aikana matkataan hieman yli ja toisen aikana hieman alle $80$ kilometriä — kuinka päin, sillä ei ole väliä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että ensimmäisellä pätkällä keskinopeus oli jonkin verran alle $80$ km/h.

Kuvitellaan nyt, että meillä on tunnin mittainen aikajanatikku. Asetetaan se ensin ensimmäisen pätkän alkuun ja aletaan sitten liikuttaa sitä kohti jälkimmäisen pätkän loppua. Aikajanatikun osoittamana aikana kuljettu matka on aluksi alle $80$ kilometriä ja lopuksi yli $80$ kilometriä. Koska muutos on jatkuva, osuu johonkin kohtaan alku- ja loppupisteiden välille tasan tunnin mittainen pätkä, jonka aikana juna kulkee täsmälleen $80$ kilometriä.

Pulmasta tekemäni Geogebra-appletti on saatavilla vapaasti Geogebratubessa. Ongelmaa vastaava kuvaaja on piirretty aika–matka-koordinaatistoon, jossa kunkin aikavälin keskinopeuden saa sekantin kulmakertoimena.

Ménage à quatre

1.2.2016 | Opettaja H.

Hyvin tunnetussa (ja varsin helpossa) matemaattisessa ongelmassa pitää kuljettaa susi, lammas ja kaali veneellä joen yli, johon soutajan lisäksi mahtuu vain yksi muu matkustaja. Jutun juju on tietenkin se, että ellei soutaja ole paikalla vahtimassa, syö susi lampaan ja lammas kaalin. Kysymys kuuluu, kuinka nämä saadaan yhtenä kappaleena joen yli. Ratkaisepa tämä ensin, ellet ole jo ratkaissut!

Ian Stewart pistää kirjassaan Another Fine Math You’ve Got Me Into… vielä paremmaksi. Nyt kuljetettavana on mörkö, susi, lammas ja kaali, eikä veneeseen edelleenkään mahdu soutajan lisäksi kuin yksi muu matkalainen. Susi syö yhä lampaan ja lammas kaalin, ellei niitä valvota. Mörkö puolestaan iskee valvomattomana välittömästi hampaansa suteen, mikäli paikalla ei ole kaalia (jota se ei syö). Saadaanko retkue toisiaan popsimatta joen toiselle penkalle?

Kuva: Hasibul Haque Sakib/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Kuljetus onnistuu, vaikka mörkö onkin häiritsemässä. Ongelman voi ratkaista ihan päättelemälläkin, mutta mielestäni yksi kiehtova ratkaisutapa on tehdä geometrinen visualisointi tilanteesta. Näin tulkittuna ongelma on sukua taannoiselle muurahaisen vaikealle juoksulle.

Ratkaisuun tarvitaan tesseraktia eli neliulotteista hyperkuutiota, joka on muuten ihan samanlainen kuin tavallinen kolmiulotteinen kuutio, mutta sen jokaisessa kärjessä kohtaa neljä särmää kolmen sijasta.

Kuva: Sonja Šumonja/Geogebratube (CC BY-SA); muokkaus Hannu Sinisalo

Tavoitteena on päästä (kaali, lammas, susi, mörkö)-koordinaatiston pisteestä $(0, 0, 0, 0)$ pisteeseen $(1, 1, 1, 1)$ , jossa jokainen koordinaatin vaihto vaihtaa yhden siirreltävän luontokappaleen paikkaa joen yhdeltä puolelta toiselle. Jokaisen koordinaatin vaihto vastaa tesseraktin yhden särmän kulkemista. Jokaisessa tesseraktin kärjessä osa särmistä poissuljetaan mahdottomina ja lopuista valitaan reitti, jolla jatketaan eteenpäin.

Ensimmäinen siirrettävä on oltava lammas. Siis ensimmäinen piste, johon origosta päädytään on pakko olla $(0,1,0,0)$ . Tämän jälkeen viedään mörkö, eli siirrymme pisteeseen $(0,1,0,1)$ . Sitten viedään kaali siirtymällä pisteeseen $(1,1,0,1)$ ja tuodaan lammas takaisin siirrolla $(1,0,0,1)$ . Sitten viedään susi $(1,0,1,1)$ , ja lopulta viimeiseksi viedään lammas uudestaan $(1,1,1,1)$ .

Koetapa löytää ongelmaan vielä toinenkin ratkaisu – sellainen on olemassa.

Ajatustenlukutemppu

26.1.2016 | Opettaja H.

Valmistele neljä lappua tai korttia tai taulua, joihin kirjoitat seuraavat luvut:

$1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$
$2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15$
$4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15$
$8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$

Tämän jälkeen käske temppusi uhrin ajatella jotain kokonaislukua väliltä $1-15$ . Sitten kysyt, mistä kaikista lapuista hänen lukunsa löytyy. Tämän jälkeen pamautat välittömästi hänen ajattelemansa luvun. Saat luvun helposti laskemalla yhteen ensimmäisen luvun jokaisesta lapusta, jonka toverisi mainitsee. Jos siis vaikka hän olisi ajatellut lukua $13$ , hän olisi sanonut, että luku löytyy tauluista 1, 3 ja 4, jonka jälkeen laskisit vain $1+4+8=13$ .

Temppu on hämmästyttävän hauska ja helppo. Se tuli vastaan Rob Eastawayn ja Jeremy Wyndhamin kirjassa Why do Buses Come in Threes? Viikon helppo kysymys on tietenkin se, miksi temppu toimii.

Ratkaisu: Kuten Mikko kommentoikin, ovat tempun taustalla lukujen $1-15$ nelibittiset binääriesitykset. Esimerkiksi $13=1101_2$ , eli se saadaan laskemalla $1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+ 0\cdot 2^1+1$ . Jokainen luku, jossa viimeinen bitti on ykkönen, on lapussa 1. Vastaavasti toiseksi viimeistä ykköstä tarvitsevat luvut ovat lapussa 2, toisen bitin ykköset lapussa 3 ja ensimmäisen bitin ykköset lapussa 4.

Temppu on kuten sanottua erittäin helppo, mutta aion käyttää sitä jatkossa opettaessani binäärilukujen käyttöä. Erittäin hyvää oppituntimateriaalia!

Pythagoraan luvut

25.1.2016 | Opettaja H.

Näyttökuva 2016-1-24 kello 16.50.39 Pythagoras (n. 585–496 eaa.) oli antiikin Kreikan tunnetuimpia matemaatikkoja. Hän perusti esoteerisen koulukunnan, jossa matematiikkaan sotkettiin uskonnollisia elementtejä. Pythagoralaisesta koulukunnasta on peräisin paljon tiedettä – filosofiaa, matematiikkaa, uskontotiedettä ja musiikkia.

Ehkäpä tunnetuin matemaattinen tulos on Pythagoraan lause. Se ei ole Pythagoraan keksimä, sillä tulos tunnettiin jo satoja vuosia aiemmin monissa Välimeren alueen ja Lähi-Idän kulttuureissa. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa suoraa kulmaa vastaavan sivun (hypotenuusan) pituuden neliö on yhtä suuri suoran kulman kylkien (kateettien) neliöiden summan kanssa. Tai siis tutummin (ks. kuva): $a^2+b^2=c^2$ .

Pythagoraan lauseen toteuttavia lukukolmikoita kutsutaan Pythagoraan luvuiksi. Esimerkiksi $3, 4$ ja $5$ ovat Pythagoraan lukuja, sillä $3^2+4^2=5^2$ .

Pythagoraan luvuiksi kelpaavat melkein mitkä tahansa luvut, mutta eivät aivan mitkä tahansa. Osoita, että $1, 2$ ja $4$ ovat ainoat luvut, jotka eivät voi olla lyhimpiä sivuja suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kaikki sivut ovat kokonaislukuja.

Ratkaisu: Tämä ongelma tuli mieleeni ihan äkkiseltään kesken matematiikan oppituntini, kun äkkäsin, kuinka mikä tahansa pariton luku ykköstä lukuunottamatta saadaan Pythagoraan kolmikon pienimmäksi luvuksi. Aloin tutkia aivan tietynlaisia lukukolmikkoja, joista pienin luku on pariton. $3, 4, 5$ . Tai $5, 12, 13$ . Tai $7, 24, 25$ . Ja niin edelleen. Äkkiä tajusin, että tässä oleva kuvio yleistyy: mikä tahansa pariton luku voidaan laittaa pienimmäksi luvuksi sellaisessa Pythagoraan kolmikossa, jossa kaksi suurempaa lukua ovat peräkkäisiä. Tämä toimii, koska jokaisen parittoman luvun neliö on pariton, eli kahden peräkkäisen luvun summa. Ja juuri nämä ovat ne kaksi peräkkäistä lukua, jotka muodostavat pienimmän lukumme kanssa Pythagoraan kolmikon. Siis vaikkapa $7^2=49=24+25$ ja edelleen $24^2+24+25=25^2,$ ja Pythagoraan lauseen mukainen tulos $24^2+7^2=25^2$ on valmis. Nyt voidaan heti sanoa, että koska $13^2=169=84+85$ , niin varmasti $84^2+13^2=85^2$ .¹

Tämän jälkeen tajusin nopeasti, että koska mikä tahansa Pythagoraan kolmikon monikerta on myös Pythagoraan kolmikko, ainoat mahdolliset luvut, jotka eivät voi olla Pythagoraan luvuista pienimpiä, ovat kakkosen potensseja. Nyt sain hieman apua kollegaltani Antti Saariselta, joka löysi kokeilemalla pari vastaesimerkkiä ensimmäiselle hypoteesilleni, että kakkosen potenssit jäävät kolmikoiden ulkopuolelle. Niinpä oli löydettävä vielä pienin kakkosen potenssi, joka sopii Pythagoraan kolmikkoon pienimmäksi.

Olkoon kolmiossa voimassa $a^2+b^2=c^2$ . Tällöin $a^2=c^2-b^2$ , joka puolestaan voidaan kirjoittaa muotoon $a^2=(c+b)(c-b)$ . On siis yritettävä löytää sellaiset luvut $b$ ja $c$ , että niiden summan ja erotuksen tulo olisi jokin kakkosen potenssi. Ja nyt $8^2=64=32\cdot 2=(17+15)(17-15)$ , mutta $4^2=16=(5+3)(5-3)$ ei kelpaa. Myöskään luvuille $2$ ja $1$ ei tällaista tuloa voida löytää.

Näin ollen voidaan todeta, että $1, 2$ ja $4$ todellakin ovat ainoat positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät voi olla lyhimpiä sivuja suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kaikkien sivujen pituudet ovat kokonaislukuja. Se, onko tästä mitään hyötyä, on eri asia. Minun mielestäni tulos on kuitenkin sangen hauska.

1089

19.1.2016 | Opettaja H.

Tässäpä oiva temppu. Ajattele mitä tahansa kolminumeroista lukua, joka koostuu eri numeroista¹. Lue luku myös lopusta alkuun ja vähennä isommasta luvusta pienempi. Käännä tämä erotus myös lopusta alkuun ja laske yhteen edellisen luvun kanssa. Tulos on aina $1089$ .

Siis esimerkiksi: ajattelen lukua $497$ . Seuraava luku on $794$ . Siis $794-497=297$ . Ja nyt $297+792=1089.$

Tämä hiljattain mieleeni palannut temppu on yksi ”matemagiikan” klassikoista. Taisin törmätä siihen ensimmäisen kerran joitakin vuosia sitten lukemassani David Achesonin kirjassa 1089 And All That. Viikon vaikea kysymys on, miksi temppu toimii.

Ratkaisu: Ajatellaan, että kolminumeroinen lukumme on $abc$ , jossa yleisyydestä luopumatta voidaan olettaa, että $a>c$ . Nyt siis ensimmäinen erotus saa muodon $(a\cdot 100+b\cdot 10+c)-(c\cdot 100+b\cdot 10+a)=(a-c)\cdot 100+(c-a)$ . Nyt $(c-a)<0$ , joten saatu erotus voidaan kirjoittaa muotoon $(a-c-1)\cdot 100+90+(10-(a-c))$ . Ja nyt kun tähän lisätään $(10-(a-c))\cdot 100+90+(a-c-1)$ , on tuloksena aina $900+180+9=1089$ .

Muuten, temppua voi jatkaa seuraavasti, jos käsillä on laskin: lisää saamaasi lukuun (eli $1089$ ) vielä $200$ , jaa $10000$ :llä ja kerro saamasi luku kuudella. Ja koska tässä on ollut kyse lukujen kääntelystä, käännä nyt koko laskimen näyttö ylösalaisin.

Tämä temppu jatkoineen tuli eteen Rob Eastawayn ja Jeremy Wyndhamin kirjassa Why do Buses Come in Threes? joka oli jälleen hyvä esimerkki kirjasta, jonka hankin pelkän nimen perusteella, kun luotettava henkilö sitä suositteli. Suosittelen minäkin.

Kolikko pullossa

7.1.2016 | Opettaja H.

Tyhjään viinipulloon laitetaan $10$ sentin kolikko ja laitetaan pullon suulle korkki. Miten saat rahan pullosta, jos pulloa ei saa rikkoa eikä korkkia saa ottaa pois?

Ratkaisu: James Harrisonin ja Mike Hobbsin Käytä aivojasi tehokkaasti -kirjassa (Otava 2011) neuvotaan työntämään korkki pulloon ja ravistamaan pulloa. Mutta eikö paljon helpompaa (ja ekologisempaa) olisi viedä pullo kaupan palautuspisteeseen?

Pimeät sukat

7.1.2016 | Opettaja H.

Pimeän vaatehuoneen sukkalaatikossa on $16$ punaista sukkaa ja $20$ sinistä sukkaa. Montako sukkaa minun pitää vähintään laatikosta ottaa, jotta saan varmasti parin samanvärisiä sukkia?

No. Tämä oli ihan liian helppo. Laitetaan vähän lisää panoksia. Laatikossa on yhtä monta sinistä ja punaista sukkaa. Tiedetään, että pienin määrä, joka sukkia pitää nostaa laatikosta, jotta saataisiin ainakin kaksi samanväristä sukkaa, on sama kuin määrä, joka pitää nostaa, jotta saataisiin varmasti kaksi eriväristä sukkaa. Montako sukkaa laatikossa on?

Ratkaisu: Ensimmäisen kysymyksen vastaus on kolme. Toisen kysymyksen vastaus on neljä.

Uusi vuosi

1.1.2016 | Opettaja H.

Kuva: Maria Morri/Flickr (CC BY-SA 2.0)

Vuoden 2016 alku tarkoitti binäärilukuna hauskannäköistä siirtymää vuodesta $11111011111$ vuoteen $11111100000$ .

On myös olemassa tapoja esittää luku $2016$ vain yhtä numeroa ja joitakin laskutoimitussymboleja käyttäen. Koska $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ , on se jaollinen muiden muassa luvuilla $2, 3, 6, 7$ ja $9$ , joten se voidaan totta kai kirjoittaa tylsästi esimerkiksi $3+3+3+\cdots$ riittävän monta kertaa. Tämän viikon vaikeana kysytään kuitenkin hieman kiehtovampaa tapaa esittää luku $2016$ .

Pystytkö esittämään luvun $2016$ , jos käytettävissäsi on vain yksi numero korkeintaan viisi kertaa sekä mitä tahansa laskutoimitussymboleja? Tai pystytkö keksimään jonkin muun kuin pelkkään yhteenlaskuun perustuvan tavan hyödyntää yhtä yksinumeroista lukua?

Ratkaisu: Uusi vuosi on aina numeronikkareille uusi hauska haaste. Kuinka ollakaan, suosikkimatemaatikkoihini kuuluva Alex Bellos kysyi vuoden 2016 rakentelemista The Guardianin palstallaan. Sieltä löytyi esittämääni ongelmaan vaihtoehtoinen ratkaisu, jota en ollut itse ajatellut. Nimittäin Bellosin ratkaisu on $2016=(4+4)\cdot(4^4-4)$ .

Itseäni silti naurattaa vielä enemmän alkuperäinen löytöni uudenvuodenyöltä Twitteristä. Pelleilläänpä vähän binomikertoimilla. Nyt huomataan, että $\binom{64}{2}=2016$ . Edelleen $2^6=64$ ja $\binom{4}{2}=6$ ja vielä $2^2=4$ . Pysyttekö mukana? Tästä saadaan riemukkaasti, että

$2016=\binom{2^{\binom{2^2}{2}}}{2}.$

Alex Bellos kysyi myös sitä, kuinka vuosi $2016$ voitaisiin esittää lukujen $10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2$ ja $1$ avulla. Hän sai valtavasti vastauksia, joista hillittömin oli Sebastian Radun vastaus:

$2016=[(10\sqrt{9}\cdot 8! / 7) \quad (\mbox{modulo }6^5)] + 4!\cdot 3!\cdot 2! + \arccos 1.$

Hyvää uutta vuotta 2016 toivoo Opettaja H:n pulmakulman henkilökunta.

Buffonin neula

27.12.2015 | Opettaja H.

Gianluigi Buffon. Kuva: Nazionale Calcio/Flickr (CC BY 2.0)

Ei, jutun otsikko ei hauku Gigi Buffonia seulaksi. Otetaan sen sijaan käsittelyyn pulma, josta olin kuullut aiemminkin, muistaakseni noin vuonna 2009 Päivölän kansanopiston matematiikkalinjan Pythagoraan polku -kilpailun vierailuluennolla professori Robert Pichéltä. Mieleeni sen palautti Jordan Ellenbergin kirja How Not To Be Wrong. Ellenbergin kirja on myös tämän pulman ratkaisun lähteenä.

Nyt puhutaan nimittäin Georges-Louis LeClercistä, Buffonin kreivistä, joka vuonna 1733 toi ensi kerran geometrian ja todennäköisyyslaskennan yhteen. Lämmittelyksi voit tutustua vaikkapa tähän aiempaan ongelmaamme. Kolikonheitto-ongelman yleisen ratkaisun esitettyään kreivi Buffon lataa kovat piippuun.

Ajatellaan tasalevyisistä pitkistä lankuista koostuvaa lattiaa. Lattialle pudotetaan ohut neula, joka on täsmälleen lankkujen levyinen. Millä todennäköisyydellä neula putoaa lankun reunan päälle?

Kreivi Buffonin oma ratkaisu ongelmaan on tiukkaa matemaattista analyysiä, mutta pulma ratkeaa myös eräällä toisella tavalla, jossa tarvitaan vain hyvin yksinkertaisia matemaattisia apuvälineitä. Nimittäin yli sata vuotta Buffonin jälkeen Joseph-Émile Barbier esitti ratkaisun, joka perustuu odotusarvon käsitteeseen ja erityisesti sen additiivisuuteen, eli siihen, että useamman tapahtuman yhteinen odotusarvo on erillisten odotusarvojen summa. Otapa tästä vinkistä kiinni ja yritä ratkaista pulma!

Tämä on vuoden 2015 viimeinen Pulmakulman pulma, joten käytän samalla tilaisuuteni kiittää seurasta tämän blogin ensimmäisten kuukausien aikana. Minulla on ollut hauskaa, toivottavasti teilläkin!

Buffonin kreivin patsas Pariisin Jardin des Plantes’ssa. Kuva: Jean-Pierre Dalbéra/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: On mahdollista, että neula joko putoaa reunan päälle tai sitten ei. Olkoon $p$ todennäköisyys sille, että neula putoaa reunalle. Tämän vastatapahtuma on se, että neula ei osu reunalle. Tämän todennäköisyys on $1-p$ . Näin pääsemme laskemaan odotusarvon reunan ja neulan leikkauspisteiden määrästä: $0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$ ¹.

Koska odotusarvo on additiivinen, eli $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ , voidaan päätellä, että kahden neulan pudottamisessa leikkauskohtien lukumäärän odotusarvo on $2p$ . Edelleen, jos pudotetaan vaikkapa kolme yhteenliitettyä neulaa, on odotusarvo leikkauspisteille $3p$ , sillä liittäminen ei vaikuta yksittäisen neulan osumatodennäköisyyteen.

Voidaan päätellä, että jos lankkujen väli on $a$ , niin miten tahansa väännellyn neulan, jonka pituus on $k\cdot a$ , leikkauskohtien odotusarvo on $k\cdot p$ . Eli esimerkiksi jos neulan pituus olisi $\pi\cdot a$ , olisi leikkauskohtien odotusarvo $\pi\cdot p$ . Ongelman loppuratkaisu onkin tässä.
Neula, jonka pituus on $\pi\cdot a$ , voidaan taivuttaa ympyräksi, jonka säde on $\frac{1}{2}a$ . Tällainen ympyrä osuu välttämättä lankkujen reunoille täsmälleen kahdesti. Siispä $\pi\cdot p =2,$ josta välittömästi

$p=\frac{2}{\pi}\approx 0,637.$

Tuomaan talo

21.12.2015 | Opettaja H.

Tuomas asuu kadulla, jonka talonnumerot ovat väliltä $8-100$ . Kössi tahtoo saada selville, mikä Tuomaan talon numero on.

Kössi kysyy, onko numero suurempi kuin $50$ . Tuomas vastaa, mutta valehtelee.

Seuraavaksi Kössi kysyy, onko numero jaollinen neljällä. Tuomas vastaa, mutta valehtelee taas.

Sitten Kössi kysyy, onko numero jonkin luvun neliö. Nyt, kaikkien hämmästykseksi, Tuomas vastaa totuudenmukaisesti.

Kössi sanoo, että jos Tuomas vielä kertoisi, onko ensimmäinen numero $3$ , hän tietäisi oikean talonnumeron. Tuomas vastaa Kössille, mutta emme tiedä, puhuiko hän totta. Tämän jälkeen Kössi ilmoittaa vastauksensa, joka valitettavasti on väärä.

Missä numerossa Tuomas oikeasti asuu?

Kuva: Bert Kaufmann/Flickr (CC BY-SA 2.0)

Ratkaisu: Kössi ei tietenkään tiedä, että Tuomas puhuu suurimman osan ajasta puhdasta palturia. Siksi Kössi perustaa veikkauksensa siihen, mitä Tuomas vastaa, ja se puolestaan vie meidät ratkaisun jäljille.

Koska ensimmäiseen kysymykseen Tuomas valehteli ja lopuksi Kössi haluaa tietää, onko ensimmäinen numero $3$ , on oikea talonnumero tietenkin suurempi kuin $50$ . Koska välillä $8-50$ on vain kaksi neljällä jaollista neliötä ( $16$ ja $36$ ) ja lukuisia sellaisia lukuja, jotka eivät ole joko jaollisia neljällä tai neliöitä tai kumpaakaan näistä, on Tuomas vastannut sekä neljälläjaollisuuskysymykseen (valheellisesti) että neliökysymykseen (todenmukaisesti) kyllä.

Tämä kaikki tarkoittaa sitä, että todellisuudessa Tuomas asuu talossa, jonka numero on suurempi kuin $50$ , ei ole neljällä jaollinen ja on jonkin luvun neliö. Ainoa kyseeseen tuleva talonnumero on $81$ .

Opettaja H:n pulmakulma

OpettajaH.fi

Pulmat

Keskinopea juna

Ménage à quatre

Ajatustenlukutemppu

Pythagoraan luvut

1089

Kolikko pullossa

Pimeät sukat

Uusi vuosi

Buffonin neula

Tuomaan talo

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon: