Turnauskaavio

20.6.2016 | Opettaja H.

Kiitos Alex Bellosin pulmapalstan The Guardianissa mieleeni palautui hauska pikku pulma liittyen urheiluturnauksiin. Koska Bellosin pulmassa pelattiin mielestäni hieman liian pienillä luvuilla, tuunaan pulmaa vähän enemmän omaan makuuni.

Suureen rantapalloturnaukseen osallistuu 2048 pelaajaa, ja vain voittamalla ottelun pääsee jatkoon. Kuinka monta ottelua turnauksessa on pelattava voittajan selvittämiseksi? Koeta ratkaista pulma turvautumatta yhteenlaskuun tai matemaattisiin kaavoihin!

Kuva: Dave Hosford / Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska vain yksi pelaaja voittaa turnauksen, pitää 2047 pelaajan hävitä. Näin ollen otteluita tarvitaan 2047.

Tylppäkulmainen kolmio

30.5.2016 | Opettaja H.

Ajattelin aluksi kysyä seuraavaa. Valitaan tasosta kolme sattumanvaraista pistettä. Millä todennäköisyydellä ne ovat tylppäkulmaisen kolmion kärkipisteet?

Tämä pirullisen haastava pulma löytyy Charles Lutwidge Dodgsonin (eli Lewis Carrollin) kirjasta Pillow-Problems. Hän on siis keksinyt ja ratkonut pulman päässään unettomana yönä. Tähän ongelmaan liittyy kuitenkin isohko mutta: se ei ole hyvin määritelty, sillä riippuen ratkaisun lähestymistavasta tehtävään voi saada monta erilaista ratkaisua. Alkuperäisen ongelman täydellinen ratkaisu vaatisi noin seitsemän sivua hyvää matematiikkaa (sisältää juonipaljastuksia – älä avaa, jos haluat ratkoa pulman itse!), mikä ei suinkaan ollut alkuperäinen ajatukseni pulmaa tänne laittaessani. Kysytään siis nyt täsmällisemmin sitä, mitä halusin kysyä. Ihan riittävän vaikea tämä pulma on seuraavanlaisellakin muotoilulla.

Valitaan mielivaltaiset pisteet $A$ ja $B$ tasosta. Millä todennäköisyydellä kolmio $ABC$ on tylppäkulmainen, kun $AB$ on kolmion pisin sivu ja $C$ on satunnainen tämän ehdon täyttävä piste?

Lisähupia ongelmaan saa sillä, että laskee todennäköisyyden tylppäkulmaiselle kolmiolle, kun $AB$ on toiseksi pisin sivu.

Pulmaa muokattu 30.5.2016 klo 19.35 asiasta Facebookissa virinneen keskustelun vuoksi. Kiitokset avusta, Antti Saarinen ja Toni Vaahtera!

Rehdit, retkut ja normaalit

24.5.2016 | Opettaja H.

Loogisten arvoitusten erikoismiehen Raymond Smullyanin kirjassa Mikä tämän kirjan nimi on? (Terra Cognita 2003, suom. Hannele Salminen) tutkitaan usein rehtejä, jotka puhuvat aina totta, ja aina valehtelevia retkuja. Joissakin ongelmissa mukana on myös kolmas kasti: normaalit, joista ei voi olla varma, puhuvatko he totta vai valehtelevatko. Niin myös tässä hauskassa pulmassa.

Rehtien, normaalien ja retkujen yhteisössä vallitsee tiukka kastijako. Rehdit ovat ylintä kastia, normaalit keskikastia ja retkut alinta kastia. Antti ja Tuomo esittävät seuraavat repliikit:

Antti: ”Olen alempaa kastia kuin Tuomo.”

Tuomo: ”Ei pidä paikkaansa!”

Voimmeko tästä päätellä, mihin kasteihin Antti ja Tuomo kuuluvat? Entä voimmeko päätellä, onko kumpikaan repliikeistä totta?

Ratkaisu: Antti ja Tuomo ovat normaaleja. Antti valehtelee, mutta Tuomo puhuu totta.

Antti ei voi olla rehti, sillä silloin hän ei voisi olla alempaa kastia kuin Tuomo. Jos Antti olisi retku, olisi hänen väitteensä valhetta, jolloin Tuomonkin olisi oltava retku. Tällöin taas Tuomon oma väittämä olisi totta, mikä on ristiriita retkuuden kanssa. Antin on siis oltava normaali.

Tuomo ei voi olla rehti, sillä silloin hän ei voisi totuudessa pysyen kiistää Antin väittämää. Jos taas Tuomo olisi retku, olisi hänen väittämänsä yhä ristiriidassa totuuden kanssa. Tuomo on siis totta puhuva normaali ja Antti normaali valehtelija.

Kössin syntymäpäivät

23.5.2016 | Opettaja H.

Pulmakulman ylläpidossa alkaa pian hyvin ansaittu kesäloma. Loma on kiireettömyyden ja rentoutumisen aikaa, ja niinpä juhlistammekin sitä pulmalla, jonka ajattelin laittaa tänne jo viime keväänä, kun koko sivusto oli vasta pilkkeenä silmäkulmassani. Se kiersi laajasti ympäri nettiä viime vuonna, mutta älkää nyt ihan vielä sieltä vastausta etsikö – ei se niin vaikea ole! Pulma oli Singapore and Asian Schools Maths Olympiad -kilpailun tehtävänä noin 15-vuotiaille koululaisille.

Kössillä on synttärit tulossa ja juhlat pitäisi järjestää, mutta Mikko ja Toni eivät valitettavasti tiedä, koska ne ovat. Pulmakulmaa pitkään seuranneella Kössillä on kuitenkin ketunhäntä kainalossaan. Hän paljastaa, että syntymäpäivä on jokin seuraavista:

15., 16. tai 19. toukokuuta
17. tai 18. kesäkuuta
14. tai 16. heinäkuuta
14., 15. tai 17. elokuuta

Sitten Kössi kuiskaa Mikolle oikean kuukauden ja Tonille oikean päivän. Loistavat loogikot Mikko ja Toni käyvät seuraavan keskustelun:

Mikko: ”En tiedä vastausta, mutta tiedän, ettei Tonikaan tiedä.”

Toni: ”Ihan aluksi en minäkään tiennyt, mutta nytpä tiedän!”

Mikko: ”Ha! No niin tiedän minäkin!”

Milloin Kössin syntymäpäivä on?

Ratkaisu: Mikko voi oikean kuukauden kuultuaan poissulkea toukokuun ja kesäkuun, sillä 19. päivä on mahdollisuutena vain toukokuussa ja 18. päivä kesäkuussa. Jos Kössin syntymäpäivä olisi ollut jompi kumpi näistä, olisi Toni tiennyt sen heti ilman lisätietoa kuukaudesta.

Nyt Toni sai kuitenkin oivallista lisäinformaatiota siitä, mikä kuukausista on oikein. Ja koska sekä heinäkuussa että elokuussa on mahdollisena päivänä 14. päivä, ei se voi olla ratkaisu, jos Toni kerran tällä yhdellä lisävihjeellä ratkaisun selvitti. Jäljellä olevat vaihtoehdot ovat siis 15., 16. tai 17. päivä – kuukaudella ei Tonille ole enää merkitystä.

Mikko tietää oikean kuukauden, muttei päivää. Koska elokuulle jää kaksi vaihtoehtoa, mutta heinäkuulle enää yksi, on oikea syntymäpäivä välttämättä 16. heinäkuuta.

Pennirinki

9.5.2016 | Opettaja H.

Seuraava pulma on Charles Lutwidge Dodgsonin alias Lewis Carrollin kirjasta Pillow-Problems vuodelta 1895. Kirjassa on 72 ongelmaa, jotka Dodgson kertoo kehitelleensä ja ratkoneensa päässänsä unettomina öinä. Kirjan ongelmien vaikeustaso vaihtelee hurjasta helpohkoihin, ehkäpä yläpäätä painottaen. Tämä ongelma on sieltä kevyemmästä päästä.

Viisi roistoa istuu ringissä ja jokaisella miehellä on yhtä monta penniä. Älykkäin heistä ehdottaa pientä pennipeliä. Ensinnäkin kaikki saavat numeron, älykkäin ykkösen, seuraava kakkosen, sitten kolmonen, nelonen ja vielä vitonen. Nyt älykkäin laittaa kaikki penninsä pussiin, antaa sen kolmoselle, jonka pitää ensin ottaa kummallekin naapurilleen pussista naapurin numeron osoittama määrä pennejä. Sitten kolmosen pitää laittaa pussiin puolet siitä määrästä pennejä, joka pussissa oli sen saapuessa hänelle. Sitten kolmonen antaa pussin vitoselle, joka antaa myös pussista pennit vierustovereille, lisää puolet siitä summasta, joka pussissa oli sen tullessa hänelle, ja antaa pussin kaksi paikkaa eteenpäin. Jos sattuisi käymään niin, että rahanlisäysvaiheessa itsellä ei olisi tarpeeksi rahaa pussin täydentämiseen, saisi kenen tahansa muun paitsi numero ykkösen pennipinosta täydentää puuttuvan määrän.

Kun pussi tulee takaisin ykköselle, hän nakkaa kaksi saamaansa rahaa pussiin, vetää pussin nyörit kiinni ja pakenee vauhdilla paikalta. Muut neljä roistoa jäävät hölmistyineinä katsomaan tyhjin käsin – ryökäle nappasi kaikki rahat! Kuinka monta penniä kullakin roistolla oli aluksi?

Ratkaisu: Olkoon kullakin konnalla aluksi $k$ kolikkoa. Peli etenee seuraavasti:

Numero $3$ sai pussin jossa on $k$ kolikkoa ja hän antoi pois $2+4=6$ kolikkoa. Sitten hän laittaa pussiin $\frac{k}{2}$ kolikkoa, joten pussiin jää $k+\frac{k}{2}-6=\frac{3}{2}k-6$ kolikkoa.
Numero $5$ jakaa pois $4+1=5$ kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussissa olleen rahasumman. Loppusumma hänen vuoronsa jälkeen on siis $\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5$ .
Numero $2$ jakaa pois $1+3=4$ kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussin summan. Pussin rahamäärä on hänen jälkeensä $\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4$ .
Numero $4$ jakaa pois $3+5=8$ kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussin summan. Pussin rahamäärä on hänen jälkeensä $\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4\right)-8$ .
Numero $1$ lisää pussiin kaksi kolikkoa, jonka jälkeen pussissa on $5k$ kolikkoa.

Tästä saadaan yhtälö

$\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4\right)-8+2=5k,$

jonka ratkaisu on $k=696$ .

Sivumennen sanoen: olisi ehkä jäänyt ratkaisematta ilman kynän ja paperin apua. Eli onnea vain Lewis Carrollille, jos päässään yöllä tämän pyöritteli loppuun asti.

Kumma kartta

8.5.2016 | Opettaja H.

Helsingin Sanomat uutisoi 3.5.2016 citykanien kummallisista kuolemista Käpylässä ja Haagassa. Tarkkaavainen lukijamme Kössi huomasi jotain vielä kummallisempaa: juttuun liitetty karttalinkki osoitti aika kauas pääkaupunkiseudulta. No, nokkelana miehenä Kössi otti ja selvitti, mikä oli mennyt toimituksessa pieleen. Osaatko sinä ratkaista, mistä on kyse?

Kuvakaappaus uutisesta HS:n verkkosivuilla.

Ratkaisu: Karttalinkissä on vahingossa sama pituus- ja leveyspiiri.

Hyvät, pahat ja rumat

26.4.2016 | Opettaja H.

Sergio Leonen lännenelokuvan Hyvät, pahat ja rumat (1966) loppukohtauksessa Clint Eastwood, Lee Van Cleef ja Eli Wallach käyvät kuuluisan kolmintaistelun hautausmaalla, jonka asetelma on myös matemaattisesti kiintoisa: tällaisessa tilanteessahan nopein vetäjä ei automaattisesti olekaan vahvimmilla. Tarvitaan jonkinlaista optimointistrategiaa, jota voidaan mallintaa todennäköisyyslaskennan keinoin.

Kuva: Jacques Meynier de Malviala / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Leonen elokuvassa käsikirjoitus tietysti sanelee lopputuloksen, mutta kokeillaanpa kolmintaistelua tiukemmilla säännöillä. Arvotaan ensin ampumisjärjestys ja noudatetaan sitä loppuun asti. Ammutaan vuorojärjestyksessä yksi kuti kerrallaan minne tahansa, kunnes pystyssä on enää yksi mies. Oletetaan, että Clint osuu kohteeseensa aina, Lee $80$ prosentin varmuudella ja Eli $50$ prosentin varmuudella. Oletetaan vielä, että kaikki noudattavat parasta strategiaa, ja että kehenkään ei osu vahinkokimmokkeita. Kuka kolmikosta on todennäköisin taistelun voittaja? Mitkä ovat kunkin miehen täsmälliset selviytymismahdollisuudet?

Ongelman löysin jälleen Martin Gardnerin kautta; hän kertoo, että se on esiintynyt useissa lähteissä ainakin 1930-luvun lopulta alkaen.

Ratkaisu: Todennäköisin ammuskelun henkiinjäänyt on Eli. Hänelle paras strategia on ammuskella ilmaan siihen asti, kunnes jäljellä on vain toinen vastapelureista, sillä he tähtäävät varmasti toisiaan niin kauan kuin heissä henki pihisee, ja hyökätä sitten henkiinjääneen kimppuun. Mutta käydään nyt kunkin pyssysankarin mahdollisuudet läpi.

Clintin henkiinjäämisprosentti on helppo selvittää. Jos hän aloittaa Leetä vastaan, hän ampuu tämän. Jos taas Lee aloittaa, on Clintillä 20 prosentin mahdollisuus selvitä. Koska nämä tapaukset ovat erilliset ja yhtä todennäköiset, on Clintin selviämismahdollisuus Leetä vastaan $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ . Koska tämän jälkeen Clint selviää 50 prosentin todennäköisyydellä Elin laukauksesta, joten kaikkiaan Clintin eloonjäämistodennäköisyys on $\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}=30\%$ .

Lee selviytyy voittajana Clintiä vastaan todennäköisyydellä $\frac{2}{5}$ . Tämän jälkeen hän ajautuu kaksintaisteluun Elin kanssa. Jos hän selviytyy Elin ensimmäisestä laukauksesta, voittaa hän 80 prosentin todennäköisyydellä. Tämän jälkeen hän voi voittaa toisella laukauksellaan, ellei Eli osu, ja edelleen kolmannella, neljännellä, viidennellä laukauksella, kunnes ratkaisu tulee. Ensimmäisen laukauksen voiton todennäköisyys on $\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{10}$ , toisen laukauksen $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{100}$ ja niin edelleen. Kaikkiaan Leen voittomahdollisuudet mittelössä Elin kanssa muodostavat geometrisen summan

$\frac{4}{10}+\frac{4}{100}+\frac{4}{1000}+\frac{4}{10000}+\cdots$

Tämä taas voidaan ilmoittaa päättymättömänä desimaalikehitelmänä $0,44444\ldots=\frac{4}{9}$ . Lee siis voittaa Elin todennäköisyydellä $\frac{4}{9}$ , joka yhdistettynä voittotodennäköisyyteen Clintiä vastaan antaa Leen kokonaistodennäköisyydeksi selvitä $\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{45}\approx 17,8\%$ .

Elin voittotodennäköisyys on nyt $1-\frac{3}{10}-\frac{8}{45}=\frac{47}{90}\approx 52,2\%$ ja siis selvästi paras kolmesta.

Jos Eli ei paukuttelisikaan ilmaan, vaan tähtäisi vaarallisimpaan vastustajaansa vuorollaan alusta asti, hänen selviämismahdollisuutensa olisi noin $44,7\%$ . Tällöin Leen mahdollisuudet nousisivat $31,1$ prosenttiin ja Clintin mahdollisuudet olisivat vain noin $24,2\%$ .

Pikainen summa

25.4.2016 | Opettaja H.

Tehdäänpä välillä pieni päässälaskutemppu. Valitse mitkä tahansa kaksi lukua ja laske ne yhteen. Jatka Fibonaccin jonon tyylisesti niin, että seuraavan luvun saat laskemalla kaksi edellistä lukua yhteen. Jatka, kunnes sinulla on kaikkiaan kymmenen lukua. Näiden kymmenen luvun summa on $11$ kertaa neljänneksi viimeinen luku.

Siis esimerkiksi

$3+4+7+11+18+29+47+76+123+199=11\cdot 47=517.$

Helppoa, eikö? Osoita, että homma toimii aina.

Ratkaisu: Ystäväni Maija ratkaisi ongelman seuraavasti. Merkitään kahta ensimmäistä lukua $a$ ja $b$ . Nyt $a + b + (a+b) + (a+2b) + (2a+3b) + (3a + 5b) + (5a+8b) + (8a+13b) + (13a+21b) + (21a+34b) = 55a + 88b = 11\cdot (5a+8b).$

Ratkaisu muuten mahtui kokonaisuudessaan yhteen twiittiin.

Suorakaide neljännesympyrällä

20.4.2016 | Opettaja H.

Neliön sisään piirretään neljännesympyrä niin, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa kuvan mukainen neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivut ovat $1$ ja $8$ . Kuinka pitkä on neliön sivu?

Tämä pulma tuli vastaan jokin aika sitten Twitterissä. Tässä muodossa pulma on Matthew Scroggsilta.

Ratkaisu: Olkoon neliön sivu (ja samalla neljännesympyrän säde) $r$ . Piirretään neljännesympyrän kehältä kohtisuora jana neliön sivulle. Nyt saadaan suorakulmainen kolmio, jonka sivujen pituudet ovat $r-8$ , $r-1$ ja $r$ . Tästä Pythagoraan mukaan saadaan $(r-8)^2+(r-1)^2=r^2$ . Yhtälön ratkaisut ovat $r=13$ ja $r=5$ , mutta jälkimmäinen ei tietenkään kelpaa, sillä selvästi $r>8$ . Näyttökuva 2016-4-25 kello 11.06.01