Pulmat

0

Liukukäytävä

|
Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Varsinkin suurilla ulkomaisilla lentoasemilla ja metroasemilla on käytössä liukukäytäviä siirtymien helpottamiseksi. Olenkin miettinyt, miksi näitä henkilökuljettimia oikein kutsutaan, ja ilmeisesti juuri liukukäytävä on virallinen suomenkielinen nimitys. Englanniksi vekottimella on hauskemmalta kalskahtava nimitys, travelator.

Mutta asiaan. Matematiikan arvostetuimmalla palkinnolla, Fieldsin mitalilla, vuonna 2006 palkittu australialaismatemaatikko Terence Tao on esittänyt seuraavan pulman:

Matkalla turvatarkastuksesta portille on sekä tavallista lattiaa että liukukäytäviä. Lattialla H. kävelee nopeudella v ja liukukäytävä liikkuu nopeudella u (jolloin H. voi halutessaan siis edetä liukukäytävällä nopeudella v+u). H:n täytyy pysähtyä matkalla solmimaan kengännauhansa, johon kuluu tietty vakioaika. Jos portille pitää päästä mahdollisimman nopeasti, kannattaako kengännauhat solmia lattialla, liukukäytävällä vai onko sillä mitään väliä?

Ratkaisu: Nauhat kannattaa solmia liukukäytävällä. Pulma voidaan ratkaista tietysti täysin matemaattisesti nopeuden, matkan ja ajan yhdistävää yhtälöä v=\displaystyle\frac{s}{t} hyödyntäen. Ei kuitenkaan mennä nyt ihan yksityiskohtiin, vaan tyydytään Alex Bellosin hienoon havainnollistukseen.

Oletetaan, että matkalla turvatarkastuksesta portille on ensin vain lattiaa ja sitten vain liukukäytävää. Sovitaan, että H. ja S. lähtevät yhtä aikaa kävelemään samalla nopeudella turvatarkastuksesta. Juuri ennen liukukäytävän alkua S. ryhtyy solmimaan kengännauhojaan. H. astuu vielä askeleen ja alkaa solmia nauhojaan liukukäytävän päällä. He ovat valmiit kenkiensä kanssa oleellisesti samaan aikaan, jonka jälkeen he jatkavat samalla nopeudella pitkin liukukäytävää. H. on kuitenkin ehättänyt jo edelle, eikä S. voi enää saada häntä kiinni.

0

Auringonpimennys

|

Seuraava pulma löytyi Greg Rossin mainiolta Futility Closet -sivustolta. Ross oli puolestaan löytänyt A. Kozlovin alkuperäisen pulman venäläisestä Kvant-lehdestä. Asiaan.

H. katselee lapsensa kanssa täydellistä auringonpimennystä. Lapsi kysyy H:lta, kuinka moninkertainen auringon etäisyys maasta on verrattuna kuun etäisyyteen. H. aprikoi hetken ja muistelee, että aurinko on noin 387 kertaa kauempana maasta kuin kuu. H:n lapsi, älykäs nuorukainen, pohtii hetken ja sanoo, että sittenhän hän osaa laskea, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. H. sanoo lapselle, että hän on oikeassa.

Viikon helppo pulma on selvittää, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. Viikon vaikea pulma on laskea se ilman laskinta.

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää auringon melko lailla tarkalleen, voidaan ajatella ne ovat yhdenmuotoiset kappaleet. Näin olleen niiden tilavuudet ovat verrannolliset etäisyyksien kuutioon, joten auringon tilavuus on 387^3-kertainen kuun tilavuuteen verrattuna.

Tässä viikon helppo. Viikon hieman haastavampi pulma oli laskea luku 387^3 ilman laskimen apua. Onnistuitko? Minä onnistuin.

Ensinnäkin 387^3=(400-13)^3, josta Pascalin kolmion avulla saadaan

    \[387^3=400^3-3\cdot 400^2\cdot 13+3\cdot 400\cdot 13^2-13^3.\]

Nyt

  • 400^3=64000000
  • 3\cdot 400^2\cdot 13=480000\cdot 13=4800000+3\cdot 480000=6240000
  • 13^3=(10+3)^3=1000+900+270+27=2197
  • 3\cdot 400\cdot 13^2=12\cdot 13^2\cdot 100=(2197-169)\cdot 100=202800

Siis

    \[387^3=64000000-6240000+202800-2197=57960603.\]

No, oliko tämän laskemisesta ilman laskinta mitään hyötyä? Ehkei, mutta sainpa ainakin itse aikani kulumaan uusintakokeita eräänä iltana koulullamme valvoessani.

0

Kolmion kulma

|

Otetaanpa välillä yksi mielenkiintoinen perusgeometrian ongelma.colingeo

Oheisessa kuvassa piste P on ympyrän keskipiste ja pisteet A, B ja C ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste D on suorien AP ja CB leikkauspiste ja janat PC ja CD ovat yhtä pitkät. Kulman \angle APB suuruus on 69^{\circ}. Kuinka suuri on kulma \alpha?

Ratkaisu: Kolmio PDC on tasakylkinen, joten myös kulma \angle CPD=\alpha. Koska kolmion yhden kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summa, saadaan \angle PCB=2\alpha. Koska myös PB on ympyrän säde, on kolmio PCB tasakylkinen, eli \angle PBC=2\alpha. Tästä edelleen vieruskulmalausetta soveltaen huomataan, että 2\alpha+2\alpha = \alpha + 69^{\circ}. Siis \alpha=23^{\circ}.

0

Pöytätennispäivä

|

Hienoista hiljaiseloa viettänyt Pulmakulma palaa viimein syyslomalta kauniin pulman kanssa. Tämä löytyi jälleen Alex Bellosin palstalta The Guardianista.

Hannu, Kari ja Hristo viettävät koko päivän pöytätennistä pelaten. Säännöt ovat selvät: kahden pelatessa kolmas odottaa vuoroaan, voittaja jää pöydälle, häviäjä siirtyy odotusvuoroon. Päivän lopuksi he laskevat, montako peliä kukin on pelannut. Tulokset ovat seuraavat:

  • Hannu: 10 peliä
  • Kari: 15 peliä
  • Hristo: 17 peliä

Viikon helppo pulma on selvittää, kuka hävisi päivän toisen pelin.

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska 10+15+17=42 ja koska jokaisessa pelissä on kaksi pelaajaa, pelasivat Hannu, Kari ja Hristo päivän aikana 21 peliä. Kukin pelaaja on ollut mukana vähintään joka toisessa pelissä, joten riippuen siitä, onko pelaaja aloittanut peli- vai odotusvuorossa, on pelejä kerryttävä vähintään 11 tai 10. Koska Hannu on pelannut vain 10 peliä, on hän aloittanut lepovuorossa ja hävinnyt kaikki pelinsä. Toisen ottelun häviäjä on siis Hannu.

0

Oi aitoja, oi latoja!

|

Matemaattisesti suuntautuneella maanviljelijä H:lla on ongelma. Hänellä on iso pelto ja sen keskellä neliöpohjainen lato. Hän haluaa rakentaa ladon luo suorakulmion muotoisen aitauksen, joka rajaa mahdollisimman suuren alan. H:lla on kaksi vaihtoehtoa:

  1. H. voi rakentaa sellaisen aitauksen, jossa ladon yksi seinä on osa suorakulmion sivua. Sivua voi kuten kuvassa jatkaa ladon seinästä molempiin suuntiin.
  2. H. voi rakentaa aitauksen, jossa yksi sivu kulkee ladon kahden nurkan kautta ladon pohjan lävistäjän suuntaisesti. Myös tässä diagonaalin suuntainen sivu voi olla vaikka kuinka paljon pidempi kuin itse diagonaali. Osa ladosta jää nyt aitauksen sisälle ja näin pienentää kokonaisalaa.

H:lla on aitatarpeita A metriä ja ladon seinän pituus on a metriä. Minkälainen suhde H:n kannattaa valita aitauksen pituudelle ja leveydelle? Kumpaa rakennusvaihtoehtoa H:n kannattaa käyttää? Riippuuko se aitatarpeiden määrästä A? Yksinkertaisuuden vuoksi1 rajataan tilanne niin, että A>3\sqrt{2}a.

Kuva: Neal Wellons/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Neal Wellons/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

0

Taaperon tahdissa

|

H. lähti poikansa kanssa kävelylle. Oletetaan, että H. astuu kaksi askelta samassa ajassa kuin poika astuu kolme, ja oletetaan vielä, että he molemmat lähtevät liikkeelle yhtä aikaa oikealla jalalla astuen. Koska he astuvat ensimmäisen kerran yhtä aikaa vasemmalla jalalla?

Kuva: Thomas Fading/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Thomas Fading/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Eivät milloinkaan. Kun H. ja poika astuvat seuraavan kerran yhtä aikaa, H. neljännen askeleensa ja poika kuudennen askeleensa jälkeen, he astuvat jälleen molemmat oikealla jalalla.

Tämä pulma löytyi Futility Closetista.

2

Saunavuoro

|

Tämänkertainen pulmamme on Pulmakulman ystävän Toni Vaahteran käsialaa. Kiitos, Toni!

Tuomas, Mikko, Johannes, Antti ja Kössi istuvat saunan lauteilla. Löylyttely sujuu mukavissa merkeissä kunnes löylykauha kolahtaa kiulun pohjaan. Millä keinolla saunojat voivat siltä istumalta reilusti arpoa kuka saunojista hakee vettä? Luonnollisesti älypuhelimet, nopat ja kolikot ja muut apuvälineet on jätetty pukuhuoneen puolelle.

Kuva: Wikimedia Commons (Public Domain)

Kuva: Wikimedia Commons (Public Domain)

Ratkaisu: Viiden hengen kivi-sakset-paperi ei oikein kuulosta hyvältä ratkaisulta. Mutta sormileikillä asia voidaan kuitenkin kätevästi ratkaista. Sovitaan, että kukin viidestä saunojasta edustaa yhtä jäännösluokkaa modulo 5. Eli kun kokonaislukua jaetaan viidellä, voi jakojäännös olla 0, 1, 2, 3 tai 4, ja näistä jäännösluokista yksi voi edustaa kutakin saunojaa. Sitten yhtä aikaa kukin paljastaa yhdestä viiteen sormea. Sormet lasketaan yhteen ja katsotaan, mikä on jakojäännös.

Sormileikki on reilu tapa. Erilaisia sormiyhdistelmiä on 5^5=3125 kappaletta, ja summat jakautuvat tasan kaikille viidelle jäännösluokalle, 625 mahdollista sormisummaa kullekin. Nyt on huomattava, että jokaisen saunojan on näytettävä vähintään yksi sormi, sillä jos pelkkä nyrkkikin sallittaisiin, olisi mahdollisia yhdistelmiä 6^5=7776 kappaletta, josta jäännösluokalle 0 tulisi 1556 sormisummaa, kun taas kaikille muille luokille tulisi vain 1555 sormisummaa. Sen sijaan peli sallisi tässä tapauksessa kuudennen saunojan.1

Olen aika pitkään ollut sitä mieltä, että jo kahden pelaajan kesken kivi-sakset-paperi on epätyydyttävä tapa arpoa. Tasapeleistä päästäisiin heti eroon pelaamalla parillista ja paritonta, jonka säännöt ovat vastaavat kuin saunapelimme. Parillisessa ja parittomassa puolestaan on ehdottomasti sallittava nollan sormen vaihtoehtokin, muutoin peli suosii paritonta. Tähän peliin törmäsin ensimmäisen kerran joskus parikymmentä vuotta sitten, mahdollisesti jossakin Hale & Pace -sarjan sketsissä, mutta varmoja muistikuvia ei ole. Joka tapauksessa olen vuosikausia pyrkinyt välttämään kivi-sakset-paperia arvontatilanteissa, mutta jotenkin parillinen ja pariton ei vain ole saavuttanut haluamaani arvostusta toveripiirissäni. Mutta ehkäpä nyt tämän saunajutun myötä…

0

Monivalintakysymys

|

Jos vastaat tähän kysymykseen sattumanvaraisesti, millä todennäköisyydellä vastaat oikein?

  1. 25 %
  2. 50 %
  3. 60 %
  4. 25 %

Tämä kysymys on kierrellyt jo jonkin aikaa ympäri nettiä. Kiitos kontribuutiosta, Mikko Saari!

Ratkaisu: Pulmaa ei tietenkään voida ratkaista sen itseensä viittaavan luonteen vuoksi. Toisin sanoen pulma ei ole hyvin määritelty. Se ei tietenkään tarkoita sitä, etteikö se olisi hauska. Juuri tällaisista paradokseista ja kielivitseistä minä olen pitänyt koko ikäni. Lisää tästä teemasta löytyy esimerkiksi Alexander Bogomolnyn mainiolta Cut the Knot -sivustolta.

0

Suunnikkaat solmussa

|

suunnikaspulma Suunnikkaan ABCD kärki B on suunnikkaan AEFG sivulla EF ja suunnikkaan AEFG kärki G on suunnikkaan ABCD sivulla CD. Suunnikkaan ABCD ala on 20. Laske suunnikkaan AEFG ala.

Ratkaisu: suunnikaspulmaratkaisuTutkitaan kolmiota ABG. Sillä on sama kanta ja korkeus kuin suunnikkalla ABCD, joten sen ala on puolet suunnikkaan alasta. Mutta toisaalta kolmiolla on sama kanta ja korkeus kuin suunnikkaalla AEFG, joten sen ala on puolet myös siitä. Näin ollen suunnikkailla on pakko olla sama ala.

0

Hullun loogikon vangit

|

Petri ja Eemil joutuivat hullun loogikon vangeiksi. Heidät suljettaisiin tuota pikaa selleihin, ja kummallekin annettaisiin ainoastaan virheetön kolikko. Heidän molempien pitäisi heittää tunnin ajan kerran minuutissa kolikkoa, siis yhteensä 60 kertaa. Kunkin heiton jälkeen he joutuisivat veikkamaan, saiko toinen herroista kruunan vai klaavan. Ja jos edes kerran molemmat olisivat yhtä aikaa oikeassa veikkauksessaan, hullu loogikko tappaisi heidät molemmat!

Ennen lopullista selleihin lukitsemista Petri ja Eemil saisivat keskustella keskenään vielä kymmenen minuutin ajan, mutta selleihin päädyttyään heillä ei olisi minkäänlaisia mahdollisuuksia kommunikoida keskenään. Oman kolikkonsa he toki näkisivät.

Viikon vaikea pulma on yrittää pelastaa Petrin ja Eemilin henki.

Kuva: Tom Blackwell/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Kuva: Tom Blackwell/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Petri ja Eemil voivat pelastua hyvin yksinkertaisella tempulla. Jos Petri veikkaa Eemilille aina samaa tulosta kuin oma heittonsa ja Eemil puolestaan vastakkaista Petrille, saavat he jokaisella heittokerralla täsmälleen yhden oikean arvauksen. Mahdollisia tapauksia on vain neljä, ja ne ovat tässä:

  1. Petri saa kruunan, veikkaa kruunaa. Eemil saa kruunan, veikkaa klaavaa. Petri on oikeassa, Eemil väärässä.
  2. Petri saa kruunan, veikkaa kruunaa. Eemil saa klaavan, veikkaa kruunaa. Petri on väärässä, Eemil oikeassa.
  3. Petri saa klaavan, veikkaa klavaa. Eemil saa kruunan, veikkaa klaavaa. Petri on väärässä, Eemil oikeassa.
  4. Petri saa klaavan, veikkaa klaavaa. Eemil saa klaavan, veikkaa kruunaa. Petri on oikeassa, Eemil väärässä.

Tämä pulma oli Alex Bellosin Monday Puzzle -palstalta The Guardianista.