Pitkän matematiikan syksyn 2015 ylioppilaskokeessa tehtävänä 7 kysyttiin seuraavaa:
Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.
Tehtävä on ihan hauska ja hyvä, mutta vielä hauskempi on tehtävän ilkeä äitipuoli. Jos olisin Martin Gardner, olisin kysynyt abiturienteilta näin:
Pallon muotoisen omenan läpi porataan kuusi senttimetriä pitkä reikä, joka kulkee pallon keskipisteen kautta. Kuinka suuri on jäljelle jäävän omenan tilavuus?
Kuva: Alan Levine/Flickr (CC BY 2.0)
Ratkaisu:
Omenapora leikkaa omenasta kappaleen, joka muodostuu suorasta ympyrälieriöstä, jonka korkeus on mainittu 
cm, sekä kahdesta pallosegmentistä. Olkoon omenan säde 
, lieriön säde 
ja pallosegmentin korkeus 
. Lieriö sijaitsee symmetrisesti omenan keskipisteen ylä- ja alapuolella, joten voimme piirtää oheisen poikkileikkauksen mukaisen kuvan. Nyt Pythagoraan lauseen nojalla 
eli 
. Edelleen havaitaan, että pallosegmentin korkeus on 
. Näistä huomioista saadaankin jo laskettua sekä lieriön että pallosegmentin tilavuudet:
![\[\begin{array}{rcl} V_l & = &\pi r^2\cdot 6=\pi(R^2-3^2)\cdot 6\\ & = & 6\pi R^2-54\pi;\\ V_{ps} & = & \pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\\ &=&\pi (R-3)^2\left(R-\frac{R-3}{3}\right)\\ & =&\frac{2}{3}\pi R^3-6\pi R^2+18\pi. \end{array}\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1b8933cd10134b11cb2859cd81a78af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tämän jälkeen loppu on pelkkää sievennystä:
![\[\begin{array}{rcl} V_{omena} & =&V_{pallo}-V_l-2V_{ps}\\ &=&\frac{4}{3}\pi R^3-\left(6\pi R^2-54\pi\right)-2\left(\frac{2}{3}\pi R^3-6\pi R^2+18\pi\right)\\ &=&36\pi. \end{array}\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a1b08ef533973ca9d9b36c3ca731108_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vastaus on siis – ehkä hieman yllättäen – omenan säteestä riippumaton vakio.
Jälkikirjoitus: Annoin tämän ongelman viime keväänä pohdittavaksi parille opiskelijalleni. Eräs heistä esitti ongelmaan sangen ketterän ratkaisun. Hän totesi, että pienentämällä reiän sädettä kohti nollaa on päädyttävä samaan ratkaisuun kuin missä muussa tapauksessa tahansa. Reiän ja pallosegmenttien hävitessä raja-arvona on pallo, jonka halkaisija on . Siispä jäljelle jäävä tilavuus on sama kuin 
-säteisen pallon, eli 
. Ratkaisu on sinänsä ovela oikotie, mutta se perustuu ehkä vähän kyseenalaiseen lisäoletukseen: voimmeko tehtävänannon perusteella luotettavasti päätellä, että kyseessä on ongelma, johon on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu?
. Tällöin kolikon halkaisija on 
, ja kolikkoja mahtuu kerralla yhden ruudun sisälle neljä. Tässä asetelmassa kolikkojen keskipisteet muodostavat neliön, jonka sivun pituus on 
koko ruudun alasta, joten vastaus kysymykseen on tietenkin 
.
sekuntia ja kahdennentoista kerran ajanhetkellä 
sekuntia. Näiden hetkien väliin jää 
lyönninväliä, joista viidennen jälkeen kello lyö kuudennen kerran. Näin ollen kello lyö kuusi kertaa 
sekunnissa.
vuotta. Tällöin äidin ikä kuuden vuoden kuluttua on 
, ja koska se on viisinkertainen lapsen ikään verrattuna, saadaan yhtälö ![\[27+x=5(x+6),\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0580227e220b3d0eeac155e1cff3807_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
vuotta eli 
kuukautta. Näin ollen lapsen isä lienee juuri siellä, missä lapsen äitikin on.
Otetaan esimerkiksi vaikkapa tulo 
. Homma toimii seuraavasti: jaetaan toista luvuista toistuvasti kakkosella. Jakojäännöksestä ei tarvitse välittää, vain kokonaiset lasketaan. Näin edetään, kunnes ollaan päästy ykköseen. Viereiseen sarakkeeseen aletaan puolestaan kertoa toista luvuista toistuvasti kakkosella. Kun ollaan päästy yhtä pitkälle kuin vasemmalla, vedetään yli kaikki ne luvut, jotka vastaavat parillista lukua vasemmanpuoleisessa sarakkeessa. Jäljelle jäävät luvut lasketaan yhteen, ja halutun tulon arvo on saatu.