Author Archives: Opettaja H.

0

Rahojen punnitus – ratkaisu

|

Kahdestatoista samannäköisestä rahasta yksi on väärennetty. Se on joko hieman liian kevyt tai liian painava. Käytettävissä on tasapainovaaka. Mikä on vähin määrä punnituksia, jolla voit varmasti selvittää, mikä rahoista on väärä ja onko se liian kevyt vai liian painava?

Tarvittavien punnitusten määrä on kolme. Aloitetaan punnitsemalla molemmissa vaakakupeissa neljä kolikkoa. Jos punnitus on tasapainossa, on virheellinen kolikko neljän jäljelle jääneen joukossa. Näistä punnitaan kolme toisessa kupissa ja kolme oikeaa kolikkoa toisessa. Jos tämäkin on tasapainossa, on virheellinen kolikko löytynyt, ja kolmas punnitus osoittaa, onko se liian kevyt vai liian painava.

Jos taas kolme ”väärää” ja kolme oikeaa tuottaa epätasapainon, on löydetty se, onko haettu kolikko liian painava vai liian kevyt. Tämän jälkeen virheellinen yksilö löytyy laittamalla kolmesta mahdollisesta väärästä yksi kumpaankin vaakakuppiin. Tasapaino kertoo, että se kolmas on väärä, epätasapaino puolestaan sen, kumpi punnituista on väärän painoinen.

Tilanne muuttuu hankalammaksi, kun ensimmäinen 4+4-punnitus osoittaa epätasapainoa. Tämän jälkeen meillä on neljä ”painavaa”, neljä ”kevyttä” ja neljä varmasti oikeaa kolikkoa. Jatketaan nyt laittamalla kolme painavaa ja yksi kevyt toiseen kuppiin sekä yksi painava ja kolme oikeaa toiseen kuppiin. Mahdollisia tapauksia on nyt kolme.

Ensinnä, jos punnitus antaa tasapainon, on etsitty kolikko kolmen punnitsemattoman kevyen joukossa, joista se saadaan esille punnitsemalla yksi kolikko molemmissa kupeissa. Samaan tapaan virheellinen kolikko löytyy, mikäli punnitus osoittaa kolmen painavan kolikon puolen olevan edelleen painavampi.

Kolmas tapaus puolestaan on se, jos kolmen painavan kolikon puoli onkin nyt kevyempi. Tällöin joko yksinäinen painava kolikko on painavampi tai yksinäinen kevyt on kevyempi. Laittamalla kolmannessa punnituksessa nämä kaksi toiseen kuppiin ja kaksi oikeaa toiseen kuppiin ratkeaa epätasapainon suunnasta, kummasta kolikosta oli kyse.

Näin. Pirullinen ongelma sinänsä sangen yksinkertaisen tuntuisesta lähtötilanteesta.

0

Rahojen punnitus

|

Kahdestatoista samannäköisestä rahasta yksi on väärennetty. Se on joko hieman liian kevyt tai liian painava. Käytettävissä on tasapainovaaka. Mikä on vähin määrä punnituksia, jolla voit varmasti selvittää, mikä rahoista on väärä ja onko se liian kevyt vai liian painava?

Tämäntyyppiset punnitusongelmat ovat hyvin klassista ongelmamatematiikkaa. Kiitoksia pulmasta Johannes Jermakalle Australiaan! Ongelman ratkaisu on tässä.

Kuva: Michael Coughlan/Flickr (CC BY-SA)

Kuva: Michael Coghlan/Flickr (CC BY-SA)

1

Leikatun ja leikkaamattoman neliön palastelu

|

Tarkastellaan ensiksi kuviota, joka muodostuu, kun neliöstä leikataan oikeanpuoleinen yläneljännes pois. Pystytkö jakamaan sen neljäksi yhteneväksi (samankokoiseksi ja samanmuotoiseksi) kuvioksi?

Näyttökuva 2015-9-1 kello 18.45.57

Otetaan sitten sama neliö, mutta nyt leikkaamattomana. Pystytkö jakamaan sen viideksi yhteneväksi kuvioksi?

Näyttökuva 2015-9-1 kello 18.47.36

Tämä ongelma on vanha klassikko, josta minua muistutti matemaatikko James Grime Twitterissä. Grime on mainio esiintyjä, joka on poikennut Suomessakin kertoilemassa mm. Alan Turingista ja Enigma-salakirjoituslaitteen murtamisesta.

Neliö, josta on yksi neljännes leikattu, voidaan jakaa neljäksi yhteneväksi kuvioksi näin:

Näyttökuva 2015-9-1 kello 19.08.48

Toinen kysymys johtikin sitten jälleen puujalkavitsiosastolle. Sama neliö voidaan jakaa viiteen yhtenevään palaan esimerkiksi näin:

Näyttökuva 2015-9-1 kello 19.09.20

0

Venäläisen talonpojan kertolasku – ratkaisu

|

Otetaan esimerkiksi vaikkapa tulo 117\cdot 324. Homma toimii seuraavasti: jaetaan toista luvuista toistuvasti kakkosella. Jakojäännöksestä ei tarvitse välittää, vain kokonaiset lasketaan. Näin edetään, kunnes ollaan päästy ykköseen. Viereiseen sarakkeeseen aletaan puolestaan kertoa toista luvuista toistuvasti kakkosella. Kun ollaan päästy yhtä pitkälle kuin vasemmalla, vedetään yli kaikki ne luvut, jotka vastaavat parillista lukua vasemmanpuoleisessa sarakkeessa. Jäljelle jäävät luvut lasketaan yhteen, ja halutun tulon arvo on saatu. Kysymys kuuluu, miksi tämä menetelmä toimii mille tahansa kokonaislukujen tulolle.

Venäläisen talonpojan kertolaskun taustalla on lukujen binääriesitys. Binäärijärjestelmä toimii aivan kuten meille tuttu kymmenjärjestelmäkin, mutta kymmenen sijaan kantalukuna on luku 2. Kun siis esimerkiksi

    \[17034=1\cdot 10^4+7\cdot 10^3+0\cdot 10^2+3\cdot 10^1+4\cdot 10^0,\]

on binääriesityksessä käytettävissä vain numerot 0 ja 1. Siis vaikkapa 23 on binäärilukuna 10111, koska

    \[23=16+4+2+1=1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot2^1+1\cdot 2^0.\]

Näyttökuva 2015-8-29 kello 20.37.00

Miten tämä sitten liittyy venäläisen talonpojan kertolaskuun? Ideana on muodostaa toisen tulontekijän binääriesitys ja kertoa sillä tulon toista tekijää. Binääriesityksen muodostaminen luvulle on helppoa. Jaetaan luku ensin toistuvasti kakkosella, kunnes jäljellä on vain ykkönen. Luetaan binääriesitys alhaalta ylöspäin. Jos jaon tulos on ollut pariton (eli jakojäännös on jäänyt), on tarvittava bitti 1, jos taas jako on parillinen, bitiksi valitaan 0. Näin voidaan selvästi toimia riippumatta siitä, mikä kokonaisluku on kyseessä.

Näin toimien huomaame luvun 117 binääriesityksen olevan 1110101, sillä 

    \[117=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0.\]

Nyt laskemamme laskutoimitus onkin periaatteessa 324\cdot (2^0+2^2+2^4+2^5+2^6) eli

    \[324+324\cdot 4+324\cdot 16+ 324\cdot 32+324\cdot 64,\]

joka tietenkin on oikeanpuoleisten yliviivaamattomien lukujen summa. Hauskaa ja melko helppoa, eikö?

Binääriluvuilla on lukematon määrä sovelluksia. Jos mainitsen niistä yhden, voi kukin päätellä niitä jokusen lisää. Nimittäin kaikki maailman tietokoneet perustuvat binäärijärjestelmään.

0

200 kalan akvaario – ratkaisu

|

Akvaariossa on 200 kalaa, joista 198 on kultakaloja. Kuinka monta kultakalaa akvaariosta pitää poistaa, jotta niiden suhteellinen osuus laskisi 99 prosentista 98 prosenttiin?

Olkoon poistettavien kalojen lukumäärä x. Saadaan yhtälö

    \[\frac{198-x}{200-x}=0,99.\]

Tästä saadaan, että x=100. Kultakaloja pitää siis poistaa sata.

2

Venäläisen talonpojan kertolasku

|

Satun tykkäämään kovasti päässälaskusta ja erilaisista siihen liittyvistä tempuista. Mielestäni sopivan isojen lukujen kertolasku päässä on mainio tapa vaivata hoksottimiaan. Lisäksi päässälasku avaa tehokkaasti erilaisia yhteyksiä lukujen välillä ja kaiken kaikkiaan laajentaa matemaattisen ymmärryksen ja osaamisen skaalaa. Ja hei, jos jokin asia on yksinkertaisesti hauskaa, miksipä sitä ei harrastaisi!

Nyt päässälaskusta on tulossa hyvin ajankohtainen asia myös lukiossa, sillä Ylioppilastutkintolautakunta on keväästä 2016 alkaen uudistamassa sekä lyhyen että pitkän matematiikan koetta. Jatkossa kokeen neljään ensimmäiseen tehtävään vastataan ilman laskimia – avaus, joka ainakin oman kouluni kollegojen keskuudessa on otettu ehdottomasti oikeana ilolla vastaan. Meidän kokeissamme päässälaskuosio on ollut varsinkin alkupään kursseilla mukana jo muutamia vuosia. Odotan kiinnostuneena, kuinka tymäkkää matematiikkaa YTL abiturienteille neljään ensimmäiseen tehtävään tarjoilee.

Mutta asiaan. Selailin tovi sitten Theoni Pappasin hienoa opusta Lisää matematiikan iloja (Terra Cognita 2001), kun silmiini sattui mielenkiintoinen tapa laskea hieman helpotetusti suurehkojen lukujen tuloja – jos ei nyt ihan puhtaana päässälaskuna, niin sutjakasti kynällä ja paperilla kuitenkin. Pappasin mukaan kyseistä menetelmää kutsutaan venäläisen talonpojan kertolaskuksi.

Näyttökuva 2015-8-29 kello 20.37.00Otetaan esimerkiksi vaikkapa tulo 117\cdot 324. Homma toimii seuraavasti: jaetaan toista luvuista toistuvasti kakkosella. Jakojäännöksestä ei tarvitse välittää, vain kokonaiset lasketaan. Näin edetään, kunnes ollaan päästy ykköseen. Viereiseen sarakkeeseen aletaan puolestaan kertoa toista luvuista toistuvasti kakkosella. Kun ollaan päästy yhtä pitkälle kuin vasemmalla, vedetään yli kaikki ne luvut, jotka vastaavat parillista lukua vasemmanpuoleisessa sarakkeessa. Jäljelle jäävät luvut lasketaan yhteen, ja halutun tulon arvo on saatu.

Kysymys kuuluukin, että miksi tämä menetelmä toimii mille tahansa kokonaislukujen tulolle. Ratkaisu on tässä.

2

200 kalan akvaario

|

Akvaariossa on 200 kalaa, joista 198 on kultakaloja. Kuinka monta kultakalaa akvaariosta pitää poistaa, jotta niiden suhteellinen osuus laskisi 99 prosentista 98 prosenttiin?

Kuva: Benson Kua/ Flickr (CC BY-SA 2.0)

Kuva: Benson Kua/Flickr (CC BY-SA 2.0)

Ongelman ratkaisu on tässä.

0

Kaksi jokilaivaa – ratkaisu

|

Kaksi jokilaivaa lähtee samaan aikaan joen vastakkaisilta rannoilta tasaisella nopeudella suoraviivaisesti kohti vastarantaa; toinen laivoista on nopeampi. Kun laivat kohtaavat, on lähempi ranta 720 metrin päässä. Molemmat laivat pysähtyvät rannalle kymmeneksi minuutiksi, ja kun ne kohtaavat seuraavan kerran, ovat ne 400 metrin päässä toisesta rannasta. Kuinka leveä joki on?Kaksi jokilaivaa

Olkoon joen leveys x metriä. Kumpikin laiva pysähtyy kymmeneksi minuutiksi, joten tällä ei ole merkitystä ratkaisun kannalta. Voidaan keskittyä pelkästään joella kulutettuun aikaan. Koska laivat kulkevat tasaisella nopeudella, ovat kuljettu matka ja käytetty aika suoraan verrannolliset. Tämä johtaa pariin melko yksinkertaiseen ratkaisumalliin.

Ensinnäkin, kun laivat kohtaavat ensimmäisen kerran, ovat ne taittaneet matkaa yhteensä x metriä. Toisen kohtaamisen hetkellä matkaa on taitettu puolestaan 3x metriä (molemmat laivat kertaallen koko välin ja vajaan toisen välin), joten kulutettu aikakin on kolminkertainen. Nopeamman laivan kulkemaa matkaa tutkimalla tästä saadaan yhtälö

    \[3(x-720)=2x-400,\]

jonka ratkaisu x=1760 (metriä) on joen leveys.

Toisaalta matkan ja käytetyn ajan verrannollisuus johtaa myös laivojen kulkemista matkoista laadittuun verrantoyhtälöön 

    \[\frac{x-720}{720}=\frac{2x-400}{x+400},\]

 josta nimittäjät pois kertomalla ja termejä järjestelemällä saadaan x^2-1760x=0. Tämän yhtälön positiivinen juuri on tietenkin sama x=1760.

0

Kärpänen – ratkaisu

|

Auto ajaa 60 km/h. Sitä vastaan lähtee 100 kilometrin päästä mopo, jonka nopeus on 40 km/h. Auton etupuskurilta lähtee samalla hetkellä lentoon kärpänen, joka lentää 80 km/h kohti mopoa. Kun kärpänen saavuttaa mopon, se lähtee takaisin kohti autoa, jonka luona se kääntyy välittömästi kohti mopoa ja niin edelleen. Kuinka pitkän matkan kärpänen ehtii lentää ennen kuin auto ja mopo kohtaavat?

Auto ja mopo kohtaavat tunnin kuluttua lähdöstä. Siis kärpänen lentää 80 kilometriä. Kuten eräs vakiokommentaattori Twitterissä totesi, kannattaisi ehkä uskoa vähitellen #viikonhelppo-tunnistetta. Toki tämän ongelman voi ehkä ratkoa jollakin hankalammallakin tavalla…

Niin, ja ilmeisesti ongelmassa hämäsi myös sen epäluonnollisuus. Minulle valistettiin, että kärpäsen lentonopeus on oikeastaan noin 8 km/h. Mutta tämä olikin matemaattinen erikoiskärpänen. Pistemäinen, ja niin edelleen.

0

Kärpänen

|

Auto ajaa 60 km/h. Sitä vastaan lähtee 100 kilometrin päästä mopo, jonka nopeus on 40 km/h. Auton etupuskurilta lähtee samalla hetkellä lentoon kärpänen, joka lentää 80 km/h kohti mopoa. Kun kärpänen saavuttaa mopon, se lähtee takaisin kohti autoa, jonka luona se kääntyy välittömästi kohti mopoa ja niin edelleen. Kuinka pitkän matkan kärpänen ehtii lentää ennen kuin auto ja mopo kohtaavat?

Ongelman ratkaisu on tässä.