Monthly Archives: lokakuu 2017

0

Pormestarinvaali

|

Tuomo ja Mikko ovat pormestarinvaalin toisella kierroksella. Mikko saa lopulta m ääntä ja Tuomo t ääntä. Oletetaan, että annetut äänet nostetaan vaaliuurnasta yksi kerrallaan ja pidetään jatkuvasti kirjaa laskennan edistymisestä. Millä todennäköisyydellä ensimmäisen nostetun äänen jälkeen äänet ovat jossain ääntenlaskennan vaiheessa tasan?

 

0

Numerot järjestykseen

|

Kahdeksannumeroisessa luvussa on kaksi ykköstä, kaksi kakkosta, kaksi kolmosta ja kaksi nelosta. Ykköset ovat yhden numeron päässä toisistaan, kakkoset kahden numeron, kolmoset kolmen numeron ja neloset neljän numeron päässä toisistaan. Mikä luku on kyseessä?

Ratkaisu: Luku on 41312432 tai tämän peilikuva 23421314. Tämän pulman lähde on Futility Closet.

 

0

Potenssiyhtälö

|

Ratkaise yhtälö

    \[(x^2-7x+11)^{x^2-11x+30}=1.\]

Ratkaisu: Yhtälö ratkeaa kolmella eri ehdolla:

  1. x^2-7x+11=1. Tämän yhtälön ratkaisut ovat x=2 ja x=5.
  2. x^2-11x+30=0. Tämän ratkaisut ovat x=5 ja x=6. Lisäehtona on, että kantaluvun x^2-7x+11 on poikettava nollasta. Kumpikin ratkaisuista totetuttaa tämän vaatimuksen.
  3. x^2-7x+11=-1 ja x^2-11x+30 on parillinen. Nämä ehdot toteutuvat, kun x=3 tai x=4.

Yhtälön ratkaisut ovat siis x=2, x=3, x=4, x=5 ja x=6.

0

Pillinvääntöä

|

Taitetaan mehupilli kahdesta sattumanvaraisesta kohdasta. Millä todennäköisyydellä taitoksista saadaan kolmio?

Kuva: Petter Duvander/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Kolmioepäyhtälön mukaan kolmio syntyy, mikäli yksikään paloista ei ole pidempi kuin kahden muun summa. Jos sovitaan, että pillin pituus on 1, tämä tarkoittaa sitä, että kunkin kolmesta osasta pitää olla lyhyempi kuin \frac{1}{2}.

Sovitaan, että taitoskohdat ovat x ja y, missä 0<x<1 ja 0<y<1. Kolmio muodostuu jommalla kummalla seuraavista ehdoista:

  1. x<y; x<\frac{1}{2}; y-x<\frac{1}{2}; 1-y<\frac{1}{2} tai
  2. y<x; y<\frac{1}{2}; x-y<\frac{1}{2}; 1-x<\frac{1}{2}.

Oheisessa kuvassa on ensimmäisen ehdon ratkaisualue on sinertävänä ja jälkimmäisen ehdon ratkaisualue vaaleanpunaisena. Kumpikin näistä on kooltaan \frac{1}{8} koko neliöstä, joten kolmio muodostuu todennäköisyydellä \frac{1}{4}.

Tämän pulman lähde on Matthew Scroggsin pulmasivu.