Nyt on vuorossa perusgeometriaa! Oheisessa kuvassa ja ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla ja on sama pinta-ala.

Tämä pulma on Daniel Grillerin kirjasta Elastic Numbers. Löysin siihen helpon, mutta melko tylsän ratkaisun, joka on perusteltavissa lukiogeometrialla. Grillerin oma ratkaisu puolestaan on oleellisesti yksinkertaisempi ja kauniimpi. Sen ymmärtää alakoululainenkin! Siksipä tässä on sangen nätti viikon helppo pulma.

Kuva 1: Suplementtikulmat

Ratkaisu: Oma ideani perustui siihen, että koska kulmat ja ovat suoria, ovat kulmat ja ovat suplementtikulmia, eli ne muodostavat yhdessä kulman (kuva 1). Lukiotrigonometriassa opimme rakkaan työkalumme yksikköympyrän avulla, että kulmalla ja sen suplementtikulmalla on sama sini. Ja koska kolmion ala voidaan laskea kaavalla , missä ja ovat kulman kyljet, ja yhtä lailla kolmion ala on , niin selvästi kolmioiden alat ovat samat.

Joo, ei hirveän tyylikäs ratkaisu, mutta ratkaisu kuitenkin, ja itse tuloshan on varsin mukava.

Kuva 2: Kierto pisteen A ympäri

Daniel Griller lähtee myös samasta ajatuksesta: . Mutta hän vie idean nokkelasti pidemmälle (Kuva 2). Koska , voidaan kolmio kiertää 90 astetta pisteen ympäri kolmioksi , jossa ja (ja siis samalla , joten pisteet , ja ovat samalla suoralla). Nyt meillä on kaksi kolmiota, ja , joilla on sama kanta ja sama korkeus, mistä ratkaisu välittömästi seuraa.