Pitkän matematiikan tämänkeväisessä preliminäärikokeessa oli yksi kaunis tehtävä, josta saadaan mukava viikon vaikea pulma. Näin se kuuluu:
Neliöllä ja suorakulmaisella kolmiolla on sama pinta-ala. Kumman piiri on pidempi?
Kuva: Joost Markerink / Flickr (CC BY 2.0)
Menisikö näin?
Olkoon yleisyyttä menettämättä neliön sivu 1. Tarkastellaan symmetrian nojalla tapausta, jossa kolmion kateetit a=b=√2 sekä piiri siten yli 4, ja aletaan pienentää sivua b vastaavasti kasvattaen sivua a. Tarkastelu voidaan lopettaa tilanteeseen a=2, koska sen jälkeen kolmion piiri on välttämättä suurempi kuin 4.
Osoitetaan, että piiri on tällä välillä aina neljää suurempi. Pienennetään b loppuarvoonsa 1 kasvattamatta sivua a. Kolmion piiri on tällöin 1+√2+√3 > 4, ja sen täytyy olla tätäkin suurempi, koska sivua a kasvatetaan.
Erittäin elegantti ratkaisu. Parempi idea kuin tekeillä olleessa omassa ratkaisussani, jossa itse asiassa oli kriittisessä kohdassa pieni virhe, joka olisi ehkä ollut kierrettävissä, mutta samalla ratkaisun kauneus olisi kärsinyt.
Joo, ja meneehän tuo juurifunktiota derivoimallakin, mutta se ratkaisuvaihtoehto hylätään jo sillä perusteella, että jos voidaan olla derivoimatta juuria, ollaan derivoimatta juuria. Lisäksi siitä saatava derivaatta on niin kammottavan näköinen, että laskin laskee alleen vähemmästäkin.