Ruuhkavuodet

31.1.2017 | Opettaja H.

Olen ilokseni kuullut, että Pulmakulmalla on ystäviä myös etelässä. Tämä seuraava pulma on saatu fanifiktiona, ja koska se perustunee tositapahtumiin, suojeltakoon lähdettä ainakin vähän.

No niin. Stefanilla on kolme lasta. Lasten kanssa kävellään päiväkodin ja koulun väliä viitenä päivänä viikossa. Lapsi A kiukuttelee keskimäärin 1/5 matkoista, lapsi B 3/5 matkoista ja lapsi C 4/5 matkoista. Mikä on todennäköisyys, että viikossa olisi edes yksi päivä, jolloin kukaan lapsista ei kiukuttele?

Ratkaisu: Ratkaistaan ongelma käyttämällä yleistä kertolaskusääntöä, komplementtisääntöä sekä binomitodennäköisyyttä. Tilannehan voidaan tulkita toistokokeeksi, jossa toistetaan yhden päivän käyttäytymistä viisi kertaa.

Oletetaan, että lasten kiukuttelualttiudet ovat toisistaan riippumattomia. Näin ollen yhteen suuntaan todennäköisyys sille, että kukaan ei kiukuttele on

$\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{8}{125}.$

Päivässä kuljetaan kaksi matkaa, joten todennäköisyys sille, että kukaan ei kiukuttele yksittäisenä päivänä on

$\left(\frac{8}{125}\right)^2=0,00496.$

Siis todennäköisyys sille, että ainakin joku kiukuttelee yksittäisenä päivänä on $1-0,004096=0,995904.$

No, ei tilanne ole kuitenkaan ihan näin synkkä, sillä viikossa päiviä on viisi. Voidaan ajatella päivien toistuvan aina samanlaisina (eli toistot ovat toisistaan riippumattomia), jolloin binomitodennäköisyyttä hyödyntäen voidaan laskea todennäköisyys sille, että ainakin yhtenä päivänä kukaan ei kiukuttele. Siis $P(\mbox{ainakin kerta ilman kiukkua})=1-P(\mbox{joku kiukuttelee aina}),$ eli

$1-0,995904^5=0,02031\ldots\approx2,0\%.$

Nelikulmion lävistäjä

16.1.2017 | Opettaja H.

Opiskelijani Timo Hartikainen oli taannoin törmännyt Päivölän opistossa Suomen matemaattisen yhdistyksen olympiavalmennuksessa kiinnostavaan ongelmaan. Tehtävänanto kuuluu seuraavasti:

Nelikulmiossa $ABCD$ kulma $\angle A=102^{\circ}$ , kulma $\angle C=129^{\circ}$ ja sivut $|AD|=|AB|=1$ . Laske lävistäjän $AC$ pituus.

Ratkaisu: Pulman ratkaisu perustuu jännenelikulmioon, eli nelikulmioon, jonka kärjet ovat ympyrän kehällä. Nyt alkuperäinen nelikulmiomme $ABCD$ ei ole jännenelikulmio, sillä jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina $180^{\circ}$ . Sen sijaan jos täydennämme kuvaa niin, että mukaan tulee kärki $E$ , jossa on $51^{\circ}$ kulma, tilanne muuttuu. Nyt koska $51^{\circ}=\frac{102^{\circ}}{2}$ , ja koska ympyrän keskuskulma on kaksinkertainen samaa kaarta vastaavaan kehäkulmaan verrattuna, on $A$ keskipiste ympyrälle, jonka sisään piirretty jännenelikulmio $EBCD$ on. Koska $|AB|=|AD|=1$ , on myös $AC=1$ , sillä sekin on ympyrän säde.