Monthly Archives: marraskuu 2016

0

Hitsattu kuutio

|

H. hankki metallitankoa, koska hänen oli tarkoitus tehdä kuution muotoinen kehikko. Hän ajatteli pätkiä tangon 12 yhtä pitkäksi palaksi ja sitten hitsata ne yhteen. Aina näppärä Tapsa kysyi, eikö tanko kannattaisi katkoa hieman pidemmiksi paloiksi ja taivutella palat suoriin kulmiin, jotta ihan niin montaa hitsauspistettä ei tarvittaisi.

Viikon helppo kysymys on, kuinka monesta kohdasta tällainen pidemmistä paloista vääntelemällä tehty kehikko vähimmillään tarvitsee hitsata.

Ratkaisu: Kuution jokaisessa kärjessä kohtaa kolme särmää, joten vaikka tankoa kuinka vääntelisi, on kuutio hitsattava kaikista kahdeksasta kärjestä.

0

Sata lanttia

|

Antti ja Petri pelaavat kiehtovaa rahapeliä: he ovat asettaneet sata kolikkoa riviin ja alkavat nostaa niitä yksi kerrallaan itselleen. Kolikot ovat kaikenlaisia viisisenttisistä kahden euron arvoisiin ja ne ovat satunnaisessa järjestyksessä. Sääntöihin kuuluu, että vuorollaan saa ottaa vain rivin reunimmaisen kolikon; kummasta tahansa päästä riviä saa nostaa.  Pelin voittaa se, kumpi saa kerättyä enemmän rahaa.

Antti aloittaa. Osoita, että Antti voi kerätä aina vähintään yhtä paljon rahaa kuin Petri.

Kuva: Branko Collin / Flickr (CC BY-SA 2.0)

Kuva: Branko Collin / Flickr (CC BY-SA 2.0)

Ratkaisu: Numeroidaan kolikot yhdestä sataan. Antti voi halutessaan varmasti poimia kaikki parilliset tai kaikki parittomat kolikot, sillä hänen haluamansa järjestysluku löytyy varmasti aina joko jonon kärjestä tai hänniltä. Niinpä hänen riittää aluksi vain katsoa, kummat kolikot kannattaa valita.

Jos kolikoita olisi yksi enemmän, etu voi siirtyä Petrille, vaikka hän saisikin yhden kolikon vähemmän kuin Antti. Jos parillisten ja parittomien arvojen ero on suurempi kuin Antin ensimmäisen kolikon arvo, 101 kolikon pelissä Petri ei ainakaan häviäisi.

2

Ohittelua

|

Juostaanpa kilpaa! Ollaan loppukirivaiheessa. Pari kiperää kysymystä:

  1. Ohitat toisena juoksevan. Monentenako olet nyt?
  2. Ohitat viimeisenä juoksevan. Monentenako olet nyt?
Perspektivet Museum/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Perspektivet Museum/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Näin helpossa kysymyksessä aivot meinaavat mennä ensin solmuun. Vastasitko ensin jompaan kumpaan kysymykseen väärin? Tunnusta vaikka kommenttikenttään. Toisena juoksevan ohitettuasi olet toisena, viimeistä et voi ohittaa!

Tämä mainio viikon vitsi löytyi loistavaksi pulmailulähteeksi osoittautuneesta Alex Bellosin Can You Solve My Problems -opuksesta.

0

Hullut Hattuset

|

Villellä, Miihkalilla ja Leolla on laatikossa viisi hattua: kaksi keltaista ja kolme punaista. He ottavat silmät kiinni laatikosta yhden hatun päähänsä ja sulkevat sen jälkeen laatikon. He eivät näe omaa hattuaan eivätkä laatikkoon jääneitä hattuja, mutta toistensa hatut he näkevät. Käydään seuraava keskustelu:

Leo: ”En tiedä hattuni väriä.”
Miihkali: ”En tiedä hattuni väriä.”
Ville (joka näkee kaksi punaista hattua): ”Tiedän hattuni värin!”

Minkä värinen hattu Villellä on?

Kuva: Tomi Palsa /Hattuset.net

Kuva: Tomi Palsa/Hattuset.net

Ratkaisu: Leo voisi tietää hattunsa värin ainoastaan, jos hän näkisi kaksi keltaista hattua. Miihkali tietää tämän, joten hän tietää, että Leo näki korkeintaan yhden keltaisen hatun. Leon hatun Miihkali näkee punaiseksi, joten keltainen hattu voi olla joko Miihkalin tai Villen päässä. Jos Villen hattu olisi keltainen, voisi Miihkali päätellä oman hattunsa punaiseksi, mutta koska hän ei näin voi tehdä, on Villelläkin pakko olla punainen hattu.

3

Järvinen, Mäkinen ja Virtanen

|

Sain käsiini Alex Bellosin upouuden pulmakirjan Can You Solve My Problems? (Guardian Books, 2016), jossa jäin ensimmäisen kerran jumiin heti ensimmäisellä sivulla (tästä ongelmasta myöhemmin lisää). Ensivaikutelma kirjasta on, että nyt ollaan pulmakirjallisuuden tulevan klassikon äärellä. Huippulaatua!

Mutta asiaan. Seuraava pulma löytyy Bellosin kirjasta. Se on laatinut Henry Ernest Dudeney, ja se on julkaistu vuonna 1930 lontoolaisessa The Strand Magazinessa.1 Dudeneyn pulma saavutti aikanaan maailmanlaajuisen suosion. Tässä se tulee.

Järvinen, Mäkinen ja Virtanen ovat junan kuljettaja, konduktööri ja myyjä, eivät tosin välttämättä tässä järjestyksessä. Sattumalta junassa matkustavat herrat Järvinen, Mäkinen ja Virtanen, joihin jatkossa viitataan arvonimellä herra. Tiedetään seuraavaa:

  • Herra Virtanen asuu Tampereella.
  • Myyjä asuu Tampereen ja Helsingin puolessavälissä.
  • Herra Mäkinen tienaa 70000 euroa vuodessa.
  • Järvinen voittaa konduktöörin biljardissa.
  • Myyjän seinänaapuri (eräs matkustajista) tienaa tasan kolminkertaisesti myyjään verrattuna.
  • Myyjän sukunimikaima asuu Helsingissä.

Viikon vaikea kysymys on tietenkin, että mikä on junan kuljettajan nimi.

Kuva: Tomi Lattu/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Tomi Lattu/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska Järvinen voittaa konduktöörin biljardissa, ei Järvinen ole konduktööri. Koska herra Mäkinen tienaa tasan 70000 euroa, ei hän voi olla myyjän seinanaapuri, koska 70000 ei ole kolmella jaollinen luku. Tämän vuoksi hänen on oltava Helsingissä asuva myyjän sukunimikaima, koska herra Virtanen asuu Tampereella. Myyjä on siis Mäkinen. Ja koska Järvinen ei ole myyjä eikä konduktööri, on hän junan kuljettaja.

0

Ikä on vain numero

|

Koska maailma tuntuu siirtyneen faktojen jälkeiseen aikaan, myös täällä Pulmakulmassa lienee tarpeen venyttää totuuden rajoja. Osoitetaan matemaattista induktiota käyttäen, että kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä.

Matemaattisessa induktioperiaatteessahan on kyse siitä, että jos voidaan osoittaa, että

  1. jokin luonnollisia lukuja tai jotain sen osajoukkoa koskeva väittämä pätee pienimmälle tarkasteltavalle luvulle, ja että
  2. väitteen totuudesta luvulle k seuraa väitteen totuus luvulle k+1,

niin tällöin väite pätee kaikille tarkasteltaville luvuille. Induktioperiaatteen hyvä havainnollistus löytyy esimerkiksi tästä.

No niin, sitten asiaan. Osoitetaan ensin, että yhden ihmisen joukossa kaikki ovat keskenään samanikäisiä. Tämä on tietenkin triviaalisti totta.

Tehdään seuraavaksi induktio-oletus, että k suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Riittää osoittaa, että tästä seuraa se, että sattumanvaraisten k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Tämä voidaan todistaa osoittamalla, että tämän joukon sattumanvaraiset henkilöt H ja S ovat samanikäisiä.

Poistetaan ensin k+1 suomalaisen joukosta henkilö H. Nyt jäljelle jääneet kaikki k suomalaista ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis S on samanikäinen kaikkien muiden kanssa, esimerkiksi henkilön M kanssa. Poistetaan seuraavaksi alkuperäisestä k+1 suomalaisen joukosta henkilö S. Nyt jäljelle jääneet k henkilöä ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis esimerkiksi H ja M ovat nyt samanikäisiä.

Mutta nythän toisaalta S ja M ovat samanikäisiä ja toisaalta H ja M ovat samanikäisiä, joten välttämättä H ja S ovat samanikäisiä. Olemme siis onnistuneet osoittamaan, että k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Induktioperiaatteen mukaan kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä!

No, tuota. Oikeasti minä en ole samanikäinen veljeni kanssa. Viikon vaikea pulma on selvittää, mikä meni pieleen. Onko matematiikka rikki?

Ratkaisu: Matematiikka ei onneksi ole rikki, vaan todistuksessa on ihan oikea virhe. Henkilöistä S ja H poikkeavan henkilön M olemassaoloa ei voida olettaa. Jotta näin voitaisiin tehdä, olisi pitänyt pystyä osoittamaan, että kaikissa kahden henkilön joukoissa on vain samanikäisiä. Ja tämähän ei tietenkään onnistu.

0

Väestönlaskija ja lapset

|

Paikkakunnalla oli menossa väestönlaskenta, ja väestönlaskija H. keräsi tietoja kätevästi ovelta ovelle kulkemalla. Eräällä ovella H. kysyi perheenisä S:ltä, kuinka monta vuotta (ei siis kuukausia, vaan täysiä vuosia) vanhoja hänen kolme lastaan olivat. Perheenisä tunnisti H:n kuuluisaksi pulmaspesialistiksi, joten hän päätti hieman kokeilla H:ta.

”Lasten ikien tulo on 36 ja summa tuon vastapäisen talon numero”, S. vastasi pilke silmäkulmassaan. H. kävi katsomassa, mikä vastapäisen talon numero oli, ja palasi takaisin perheenisän luo. ”Olen pahoillani, mutta tarvitsen hieman lisätietoja”, H. sanoi. ”En ehdi nyt, puuro kiehuu yli ja vanhin lapsi on yläkerrassa nukkumassa”, vastasi perheenisä. ”Kiitos, mutta kyllähän tässä jo on kylliksi”, totesi lisätiedoista ilahtunut H.

Viikon helppo (no, hyvä on – helpohko) kysymys on, kuinka vanhoja lapset olivat ja mikä oli vastapäisen talon numero.

Kuva: Kathleen Conklin/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Kathleen Conklin/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Luvun 36 voi esittää seitsemällä tavalla kolmen luonnollisen luvun tulona, mutta vain kahdessa tapauksessa tulon tekijöillä on sama summa: 9+2+2=13 ja 6+6+1=13. Koska vanhin lapsi nukkuu yläkerrassa, ovat lasten iät siis 9, 2 ja 2 ja vastapäisen talon numero on 13. (Kaksoset lasketaan siis saman ikäisiksi, vaikka teknisesti heillä varmaankin on jopa useita minuutteja ikäeroa.)

0

Liukukäytävä

|
Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Varsinkin suurilla ulkomaisilla lentoasemilla ja metroasemilla on käytössä liukukäytäviä siirtymien helpottamiseksi. Olenkin miettinyt, miksi näitä henkilökuljettimia oikein kutsutaan, ja ilmeisesti juuri liukukäytävä on virallinen suomenkielinen nimitys. Englanniksi vekottimella on hauskemmalta kalskahtava nimitys, travelator.

Mutta asiaan. Matematiikan arvostetuimmalla palkinnolla, Fieldsin mitalilla, vuonna 2006 palkittu australialaismatemaatikko Terence Tao on esittänyt seuraavan pulman:

Matkalla turvatarkastuksesta portille on sekä tavallista lattiaa että liukukäytäviä. Lattialla H. kävelee nopeudella v ja liukukäytävä liikkuu nopeudella u (jolloin H. voi halutessaan siis edetä liukukäytävällä nopeudella v+u). H:n täytyy pysähtyä matkalla solmimaan kengännauhansa, johon kuluu tietty vakioaika. Jos portille pitää päästä mahdollisimman nopeasti, kannattaako kengännauhat solmia lattialla, liukukäytävällä vai onko sillä mitään väliä?

Ratkaisu: Nauhat kannattaa solmia liukukäytävällä. Pulma voidaan ratkaista tietysti täysin matemaattisesti nopeuden, matkan ja ajan yhdistävää yhtälöä v=\displaystyle\frac{s}{t} hyödyntäen. Ei kuitenkaan mennä nyt ihan yksityiskohtiin, vaan tyydytään Alex Bellosin hienoon havainnollistukseen.

Oletetaan, että matkalla turvatarkastuksesta portille on ensin vain lattiaa ja sitten vain liukukäytävää. Sovitaan, että H. ja S. lähtevät yhtä aikaa kävelemään samalla nopeudella turvatarkastuksesta. Juuri ennen liukukäytävän alkua S. ryhtyy solmimaan kengännauhojaan. H. astuu vielä askeleen ja alkaa solmia nauhojaan liukukäytävän päällä. He ovat valmiit kenkiensä kanssa oleellisesti samaan aikaan, jonka jälkeen he jatkavat samalla nopeudella pitkin liukukäytävää. H. on kuitenkin ehättänyt jo edelle, eikä S. voi enää saada häntä kiinni.