Monthly Archives: lokakuu 2016

0

Auringonpimennys

|

Seuraava pulma löytyi Greg Rossin mainiolta Futility Closet -sivustolta. Ross oli puolestaan löytänyt A. Kozlovin alkuperäisen pulman venäläisestä Kvant-lehdestä. Asiaan.

H. katselee lapsensa kanssa täydellistä auringonpimennystä. Lapsi kysyy H:lta, kuinka moninkertainen auringon etäisyys maasta on verrattuna kuun etäisyyteen. H. aprikoi hetken ja muistelee, että aurinko on noin 387 kertaa kauempana maasta kuin kuu. H:n lapsi, älykäs nuorukainen, pohtii hetken ja sanoo, että sittenhän hän osaa laskea, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. H. sanoo lapselle, että hän on oikeassa.

Viikon helppo pulma on selvittää, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. Viikon vaikea pulma on laskea se ilman laskinta.

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää auringon melko lailla tarkalleen, voidaan ajatella ne ovat yhdenmuotoiset kappaleet. Näin olleen niiden tilavuudet ovat verrannolliset etäisyyksien kuutioon, joten auringon tilavuus on 387^3-kertainen kuun tilavuuteen verrattuna.

Tässä viikon helppo. Viikon hieman haastavampi pulma oli laskea luku 387^3 ilman laskimen apua. Onnistuitko? Minä onnistuin.

Ensinnäkin 387^3=(400-13)^3, josta Pascalin kolmion avulla saadaan

    \[387^3=400^3-3\cdot 400^2\cdot 13+3\cdot 400\cdot 13^2-13^3.\]

Nyt

  • 400^3=64000000
  • 3\cdot 400^2\cdot 13=480000\cdot 13=4800000+3\cdot 480000=6240000
  • 13^3=(10+3)^3=1000+900+270+27=2197
  • 3\cdot 400\cdot 13^2=12\cdot 13^2\cdot 100=(2197-169)\cdot 100=202800

Siis

    \[387^3=64000000-6240000+202800-2197=57960603.\]

No, oliko tämän laskemisesta ilman laskinta mitään hyötyä? Ehkei, mutta sainpa ainakin itse aikani kulumaan uusintakokeita eräänä iltana koulullamme valvoessani.

0

Kolmion kulma

|

Otetaanpa välillä yksi mielenkiintoinen perusgeometrian ongelma.colingeo

Oheisessa kuvassa piste P on ympyrän keskipiste ja pisteet A, B ja C ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste D on suorien AP ja CB leikkauspiste ja janat PC ja CD ovat yhtä pitkät. Kulman \angle APB suuruus on 69^{\circ}. Kuinka suuri on kulma \alpha?

Ratkaisu: Kolmio PDC on tasakylkinen, joten myös kulma \angle CPD=\alpha. Koska kolmion yhden kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summa, saadaan \angle PCB=2\alpha. Koska myös PB on ympyrän säde, on kolmio PCB tasakylkinen, eli \angle PBC=2\alpha. Tästä edelleen vieruskulmalausetta soveltaen huomataan, että 2\alpha+2\alpha = \alpha + 69^{\circ}. Siis \alpha=23^{\circ}.

0

Pöytätennispäivä

|

Hienoista hiljaiseloa viettänyt Pulmakulma palaa viimein syyslomalta kauniin pulman kanssa. Tämä löytyi jälleen Alex Bellosin palstalta The Guardianista.

Hannu, Kari ja Hristo viettävät koko päivän pöytätennistä pelaten. Säännöt ovat selvät: kahden pelatessa kolmas odottaa vuoroaan, voittaja jää pöydälle, häviäjä siirtyy odotusvuoroon. Päivän lopuksi he laskevat, montako peliä kukin on pelannut. Tulokset ovat seuraavat:

  • Hannu: 10 peliä
  • Kari: 15 peliä
  • Hristo: 17 peliä

Viikon helppo pulma on selvittää, kuka hävisi päivän toisen pelin.

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Jean-Cristophe Le Brun/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska 10+15+17=42 ja koska jokaisessa pelissä on kaksi pelaajaa, pelasivat Hannu, Kari ja Hristo päivän aikana 21 peliä. Kukin pelaaja on ollut mukana vähintään joka toisessa pelissä, joten riippuen siitä, onko pelaaja aloittanut peli- vai odotusvuorossa, on pelejä kerryttävä vähintään 11 tai 10. Koska Hannu on pelannut vain 10 peliä, on hän aloittanut lepovuorossa ja hävinnyt kaikki pelinsä. Toisen ottelun häviäjä on siis Hannu.