Ykkösiä, ei neliöitä

Osoita, ettei yksikään jonon $11, 111, 1111, 11111,\ldots$ jäsen ole kokonaisluvun neliö.

Ratkaisu: Jonon $11, 111, 1111, 11111,\ldots$ jokainen luku voidaan kirjoittaa muodossa $100m+11=4(25m+2)+3$ , jossa $m$ on kokonaisluku. Näin ollen aina, kun jotain jonon luvuista jaetaan $4$ :llä, jakojäännökseksi jää $3$ .

Parilliset kokonaisluvut voidaan esittää muodossa $2n$ , jossa $n$ on kokonaisluku. Näin ollen parillisten kokonaislukujen neliöt voidaan esittää muodossa $(2n)^2=4n^2$ , eli parillisten lukujen neliöitä $4$ :llä jaettaessa jako menee aina tasan. Vastaavasti parittomat luvut voidaan esittää muodossa $(2n+1)$ , jolloin niiden neliöt voidaan esittää muodossa $4n^2+4n+1$ . Parittomien lukujen neliöitä $4$ :llä jaettaessa jakojäännös on siis aina $1$ . Siis mikään jonon $11, 111, 1111, 11111,\ldots$ luvuista ei voi olla kokonaisluvun neliö.