Monthly Archives: toukokuu 2016

0

Tylppäkulmainen kolmio

|

Ajattelin aluksi kysyä seuraavaa. Valitaan tasosta kolme sattumanvaraista pistettä. Millä todennäköisyydellä ne ovat tylppäkulmaisen kolmion kärkipisteet?

Tämä pirullisen haastava pulma löytyy Charles Lutwidge Dodgsonin (eli Lewis Carrollin) kirjasta Pillow-Problems. Hän on siis keksinyt ja ratkonut pulman päässään unettomana yönä. Tähän ongelmaan liittyy kuitenkin isohko mutta: se ei ole hyvin määritelty, sillä riippuen ratkaisun lähestymistavasta tehtävään voi saada monta erilaista ratkaisua. Alkuperäisen ongelman täydellinen ratkaisu vaatisi noin seitsemän sivua hyvää matematiikkaa (sisältää juonipaljastuksia – älä avaa, jos haluat ratkoa pulman itse!), mikä ei suinkaan ollut alkuperäinen ajatukseni pulmaa tänne laittaessani. Kysytään siis nyt täsmällisemmin sitä, mitä halusin kysyä. Ihan riittävän vaikea tämä pulma on seuraavanlaisellakin muotoilulla.

Valitaan mielivaltaiset pisteet A ja B tasosta. Millä todennäköisyydellä kolmio ABC on tylppäkulmainen, kun AB on kolmion pisin sivu ja C on satunnainen tämän ehdon täyttävä piste?

Lisähupia ongelmaan saa sillä, että laskee todennäköisyyden tylppäkulmaiselle kolmiolle, kun AB on toiseksi pisin sivu.

Pulmaa muokattu 30.5.2016 klo 19.35 asiasta Facebookissa virinneen keskustelun vuoksi. Kiitokset avusta, Antti Saarinen ja Toni Vaahtera!

2

Rehdit, retkut ja normaalit

|

Loogisten arvoitusten erikoismiehen Raymond Smullyanin kirjassa Mikä tämän kirjan nimi on? (Terra Cognita 2003, suom. Hannele Salminen) tutkitaan usein rehtejä, jotka puhuvat aina totta, ja aina valehtelevia retkuja. Joissakin ongelmissa mukana on myös kolmas kasti: normaalit, joista ei voi olla varma, puhuvatko he totta vai valehtelevatko. Niin myös tässä hauskassa pulmassa.

Rehtien, normaalien ja retkujen yhteisössä vallitsee tiukka kastijako. Rehdit ovat ylintä kastia, normaalit keskikastia ja retkut alinta kastia. Antti ja Tuomo esittävät seuraavat repliikit:

Antti: ”Olen alempaa kastia kuin Tuomo.”

Tuomo: ”Ei pidä paikkaansa!”

Voimmeko tästä päätellä, mihin kasteihin Antti ja Tuomo kuuluvat? Entä voimmeko päätellä, onko kumpikaan repliikeistä totta?

Ratkaisu: Antti ja Tuomo ovat normaaleja. Antti valehtelee, mutta Tuomo puhuu totta.

Antti ei voi olla rehti, sillä silloin hän ei voisi olla alempaa kastia kuin Tuomo. Jos Antti olisi retku, olisi hänen väitteensä valhetta, jolloin Tuomonkin olisi oltava retku. Tällöin taas Tuomon oma väittämä olisi totta, mikä on ristiriita retkuuden kanssa. Antin on siis oltava normaali.

Tuomo ei voi olla rehti, sillä silloin hän ei voisi totuudessa pysyen kiistää Antin väittämää. Jos taas Tuomo olisi retku, olisi hänen väittämänsä yhä ristiriidassa totuuden kanssa. Tuomo on siis totta puhuva normaali ja Antti normaali valehtelija.

0

Kössin syntymäpäivät

|

Pulmakulman ylläpidossa alkaa pian hyvin ansaittu kesäloma. Loma on kiireettömyyden ja rentoutumisen aikaa, ja niinpä juhlistammekin sitä pulmalla, jonka ajattelin laittaa tänne jo viime keväänä, kun koko sivusto oli vasta pilkkeenä silmäkulmassani. Se kiersi laajasti ympäri nettiä viime vuonna, mutta älkää nyt ihan vielä sieltä vastausta etsikö – ei se niin vaikea ole! Pulma oli Singapore and Asian Schools Maths Olympiad -kilpailun tehtävänä noin 15-vuotiaille koululaisille.

Kössillä on synttärit tulossa ja juhlat pitäisi järjestää, mutta Mikko ja Toni eivät valitettavasti tiedä, koska ne ovat. Pulmakulmaa pitkään seuranneella Kössillä on kuitenkin ketunhäntä kainalossaan. Hän paljastaa, että syntymäpäivä on jokin seuraavista:

  • 15., 16. tai 19. toukokuuta
  • 17. tai 18. kesäkuuta
  • 14. tai 16. heinäkuuta
  • 14., 15. tai 17. elokuuta

Sitten Kössi kuiskaa Mikolle oikean kuukauden ja Tonille oikean päivän. Loistavat loogikot Mikko ja Toni käyvät seuraavan keskustelun:

Mikko: ”En tiedä vastausta, mutta tiedän, ettei Tonikaan tiedä.”

Toni:  ”Ihan aluksi en minäkään tiennyt, mutta nytpä tiedän!”

Mikko: ”Ha! No niin tiedän minäkin!”

Milloin Kössin syntymäpäivä on?

Ratkaisu: Mikko voi oikean kuukauden kuultuaan poissulkea toukokuun ja kesäkuun, sillä 19. päivä on mahdollisuutena vain toukokuussa ja 18. päivä kesäkuussa. Jos Kössin syntymäpäivä olisi ollut jompi kumpi näistä, olisi Toni tiennyt sen heti ilman lisätietoa kuukaudesta.

Nyt Toni sai kuitenkin oivallista lisäinformaatiota siitä, mikä kuukausista on oikein. Ja koska sekä heinäkuussa että elokuussa on mahdollisena päivänä 14. päivä, ei se voi olla ratkaisu, jos Toni kerran tällä yhdellä lisävihjeellä ratkaisun selvitti. Jäljellä olevat vaihtoehdot ovat siis 15., 16. tai 17. päivä – kuukaudella ei Tonille ole enää merkitystä.

Mikko tietää oikean kuukauden, muttei päivää. Koska elokuulle jää kaksi vaihtoehtoa, mutta heinäkuulle enää yksi, on oikea syntymäpäivä välttämättä 16. heinäkuuta.

0

Pennirinki

|

Seuraava pulma on Charles Lutwidge Dodgsonin alias Lewis Carrollin kirjasta Pillow-Problems vuodelta 1895. Kirjassa on 72 ongelmaa, jotka Dodgson kertoo kehitelleensä ja ratkoneensa päässänsä unettomina öinä. Kirjan ongelmien vaikeustaso vaihtelee hurjasta helpohkoihin, ehkäpä yläpäätä painottaen. Tämä ongelma on sieltä kevyemmästä päästä.

Viisi roistoa istuu ringissä ja jokaisella miehellä on yhtä monta penniä. Älykkäin heistä ehdottaa pientä pennipeliä. Ensinnäkin kaikki saavat numeron, älykkäin ykkösen, seuraava kakkosen, sitten kolmonen, nelonen ja vielä vitonen. Nyt älykkäin laittaa kaikki penninsä pussiin, antaa sen kolmoselle, jonka pitää ensin ottaa kummallekin naapurilleen pussista naapurin numeron osoittama määrä pennejä. Sitten kolmosen pitää laittaa pussiin puolet siitä määrästä pennejä, joka pussissa oli sen saapuessa hänelle. Sitten kolmonen antaa pussin vitoselle, joka antaa myös pussista pennit vierustovereille, lisää puolet siitä summasta, joka pussissa oli sen tullessa hänelle, ja antaa pussin kaksi paikkaa eteenpäin. Jos sattuisi käymään niin, että rahanlisäysvaiheessa itsellä ei olisi tarpeeksi rahaa pussin täydentämiseen, saisi kenen tahansa muun paitsi numero ykkösen pennipinosta täydentää puuttuvan määrän.

Kun pussi tulee takaisin ykköselle, hän nakkaa kaksi saamaansa rahaa pussiin, vetää pussin nyörit kiinni ja pakenee vauhdilla paikalta. Muut neljä roistoa jäävät hölmistyineinä katsomaan tyhjin käsin – ryökäle nappasi kaikki rahat! Kuinka monta penniä kullakin roistolla oli aluksi?

Ratkaisu: Olkoon kullakin konnalla aluksi k kolikkoa. Peli etenee seuraavasti:

  1. Numero 3 sai pussin jossa on k kolikkoa ja hän antoi pois 2+4=6 kolikkoa. Sitten hän laittaa pussiin \frac{k}{2} kolikkoa, joten pussiin jää k+\frac{k}{2}-6=\frac{3}{2}k-6 kolikkoa.
  2. Numero 5 jakaa pois 4+1=5 kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussissa olleen rahasumman. Loppusumma hänen vuoronsa jälkeen on siis \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5.
  3. Numero 2 jakaa pois 1+3=4 kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussin summan. Pussin rahamäärä on hänen jälkeensä \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4.
  4. Numero 4 jakaa pois 3+5=8 kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussin summan. Pussin rahamäärä on hänen jälkeensä \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4\right)-8.
  5. Numero 1 lisää pussiin kaksi kolikkoa, jonka jälkeen pussissa on 5k kolikkoa.

Tästä saadaan yhtälö 

    \[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4\right)-8+2=5k,\]

jonka ratkaisu on k=696.

Sivumennen sanoen: olisi ehkä jäänyt ratkaisematta ilman kynän ja paperin apua. Eli onnea vain Lewis Carrollille, jos päässään yöllä tämän pyöritteli loppuun asti.

0

Kumma kartta

|

Helsingin Sanomat uutisoi 3.5.2016 citykanien kummallisista kuolemista Käpylässä ja Haagassa. Tarkkaavainen lukijamme Kössi huomasi jotain vielä kummallisempaa: juttuun liitetty karttalinkki osoitti aika kauas pääkaupunkiseudulta. No, nokkelana miehenä Kössi otti ja selvitti, mikä oli mennyt toimituksessa pieleen. Osaatko sinä ratkaista, mistä on kyse?

Kuvakaappaus uutisesta HS:n verkkosivuilla.

Kuvakaappaus uutisesta HS:n verkkosivuilla.

Ratkaisu: Karttalinkissä on vahingossa sama pituus- ja leveyspiiri.