Monthly Archives: huhtikuu 2016

0

Hyvät, pahat ja rumat

|

Sergio Leonen lännenelokuvan Hyvät, pahat ja rumat (1966) loppukohtauksessa Clint Eastwood, Lee Van Cleef ja Eli Wallach käyvät kuuluisan kolmintaistelun hautausmaalla, jonka asetelma on myös matemaattisesti kiintoisa: tällaisessa tilanteessahan nopein vetäjä ei automaattisesti olekaan vahvimmilla. Tarvitaan jonkinlaista optimointistrategiaa, jota voidaan mallintaa todennäköisyyslaskennan keinoin.

Kuva: Jacques Meynier de Malviala / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Jacques Meynier de Malviala / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Leonen elokuvassa käsikirjoitus tietysti sanelee lopputuloksen, mutta kokeillaanpa kolmintaistelua tiukemmilla säännöillä. Arvotaan ensin ampumisjärjestys ja noudatetaan sitä loppuun asti. Ammutaan vuorojärjestyksessä yksi kuti kerrallaan minne tahansa, kunnes pystyssä on enää yksi mies. Oletetaan, että Clint osuu kohteeseensa aina, Lee 80 prosentin varmuudella ja Eli 50 prosentin varmuudella. Oletetaan vielä, että kaikki noudattavat parasta strategiaa, ja että kehenkään ei osu vahinkokimmokkeita. Kuka kolmikosta on todennäköisin taistelun voittaja? Mitkä ovat kunkin miehen täsmälliset selviytymismahdollisuudet?

Ongelman löysin jälleen Martin Gardnerin kautta; hän kertoo, että se on esiintynyt useissa lähteissä ainakin 1930-luvun lopulta alkaen.

Ratkaisu: Todennäköisin ammuskelun henkiinjäänyt on Eli. Hänelle paras strategia on ammuskella ilmaan siihen asti, kunnes jäljellä on vain toinen vastapelureista, sillä he tähtäävät varmasti toisiaan niin kauan kuin heissä henki pihisee, ja hyökätä sitten henkiinjääneen kimppuun. Mutta käydään nyt kunkin pyssysankarin mahdollisuudet läpi.

Clintin henkiinjäämisprosentti on helppo selvittää. Jos hän aloittaa Leetä vastaan, hän ampuu tämän. Jos taas Lee aloittaa, on Clintillä 20 prosentin mahdollisuus selvitä. Koska nämä tapaukset ovat erilliset ja yhtä todennäköiset, on Clintin selviämismahdollisuus Leetä vastaan \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}. Koska tämän jälkeen Clint selviää 50 prosentin todennäköisyydellä Elin laukauksesta, joten kaikkiaan Clintin eloonjäämistodennäköisyys on \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}=30\%.

Lee selviytyy voittajana Clintiä vastaan todennäköisyydellä \frac{2}{5}. Tämän jälkeen hän ajautuu kaksintaisteluun Elin kanssa. Jos hän selviytyy Elin ensimmäisestä laukauksesta, voittaa hän 80 prosentin todennäköisyydellä. Tämän jälkeen hän voi voittaa toisella laukauksellaan, ellei Eli osu, ja edelleen kolmannella, neljännellä, viidennellä laukauksella, kunnes ratkaisu tulee. Ensimmäisen laukauksen voiton todennäköisyys on \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{10}, toisen laukauksen \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{100} ja niin edelleen. Kaikkiaan Leen voittomahdollisuudet mittelössä Elin kanssa muodostavat geometrisen summan

    \[\frac{4}{10}+\frac{4}{100}+\frac{4}{1000}+\frac{4}{10000}+\cdots\]

Tämä taas voidaan ilmoittaa päättymättömänä desimaalikehitelmänä 0,44444\ldots=\frac{4}{9}. Lee siis voittaa Elin todennäköisyydellä \frac{4}{9}, joka yhdistettynä voittotodennäköisyyteen Clintiä vastaan antaa Leen kokonaistodennäköisyydeksi selvitä \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{45}\approx 17,8\%.

Elin voittotodennäköisyys on nyt 1-\frac{3}{10}-\frac{8}{45}=\frac{47}{90}\approx 52,2\% ja siis selvästi paras kolmesta.

Jos Eli ei paukuttelisikaan ilmaan, vaan tähtäisi vaarallisimpaan vastustajaansa vuorollaan alusta asti, hänen selviämismahdollisuutensa olisi noin 44,7\%. Tällöin Leen mahdollisuudet nousisivat 31,1 prosenttiin ja Clintin mahdollisuudet olisivat vain noin 24,2\%.

2

Pikainen summa

|

Tehdäänpä välillä pieni päässälaskutemppu. Valitse mitkä tahansa kaksi lukua ja laske ne yhteen. Jatka Fibonaccin jonon tyylisesti niin, että seuraavan luvun saat laskemalla kaksi edellistä lukua yhteen. Jatka, kunnes sinulla on kaikkiaan kymmenen lukua. Näiden kymmenen luvun summa on 11 kertaa neljänneksi viimeinen luku.

Siis esimerkiksi

    \[3+4+7+11+18+29+47+76+123+199=11\cdot 47=517.\]

Helppoa, eikö? Osoita, että homma toimii aina.

Ratkaisu: Ystäväni Maija ratkaisi ongelman seuraavasti. Merkitään kahta ensimmäistä lukua a ja b. Nyt a + b + (a+b) + (a+2b) + (2a+3b) + (3a + 5b) + (5a+8b) + (8a+13b) + (13a+21b) + (21a+34b) = 55a + 88b = 11\cdot (5a+8b).

Ratkaisu muuten mahtui kokonaisuudessaan yhteen twiittiin.

0

Suorakaide neljännesympyrällä

|

Näyttökuva 2016-4-20 kello 7.18.48Neliön sisään piirretään neljännesympyrä niin, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa kuvan mukainen neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivut ovat 1 ja 8. Kuinka pitkä on neliön sivu?

Tämä pulma tuli vastaan jokin aika sitten Twitterissä. Tässä muodossa pulma on Matthew Scroggsilta.

Ratkaisu: Olkoon neliön sivu (ja samalla neljännesympyrän säde) r. Piirretään neljännesympyrän kehältä kohtisuora jana neliön sivulle. Nyt saadaan suorakulmainen kolmio, jonka sivujen pituudet ovat r-8, r-1 ja r. Tästä Pythagoraan mukaan saadaan (r-8)^2+(r-1)^2=r^2. Yhtälön ratkaisut ovat r=13 ja r=5, mutta jälkimmäinen ei tietenkään kelpaa, sillä selvästi r>8.Näyttökuva 2016-4-25 kello 11.06.01

0

Kaiken juuri

|

Paljonko on

    \[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots \frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}?\]

Ratkaisu: Koska laventamalla saadaan

    \[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}=\sqrt{2}-1,\]

ja edelleen

    \[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\]

ja koska vastaava lavennus toimii kaikille summan tekijöille, niin

    \[\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots +\sqrt{25}-\sqrt{24}=5-1=4.\]

Tämä ongelma löytyi Matthew Scroggsin pulmakokoelmasta.

3

Valkeita palloja pussissa

|

Pussissa on joko musta tai valkoinen pallo. Laitetaan pussiin valkoinen pallo ja nostetaan tämän jälkeen sattumanvaraisesti toinen palloista pois. Millä todennäköisyydellä pussiin jää valkoinen pallo, jos nostettu pallo oli valkoinen?

Tämä hauska ongelman lienee keksinyt brittimatemaatikko Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898). Jälkimaailma tuntee hänet paremmin kirjailijanimellä Lewis Carroll.

Ratkaisu: Seuraavat nostojärjestykset ovat ainoat mahdolliset:

  1. Valkoinen pallo 1 ja valkoinen pallo 2.
  2. Valkoinen pallo 2 ja valkoinen pallo 1.
  3. Valkoinen pallo 1 ja musta pallo 1.

Tapauksilla 1–3 on sama todennäköisyys, joten kysytty todennäköisyys on \frac{2}{3}.

 

5

Pyörivä pöytä ja helisevä tiuku

|

Pöydän pyörittely on matemaattisessa mielessä sangen kiehtovaa, oli sitten kyseessä epätasainen keittiön lattia tai väärässä järjestyksessä istuvat ritarit. Myös tässä ongelmassa tarvitsee pyöritellä pöytää.

Neliön muotoisen pöydän jokaisessa nurkassa on kolo, johon on asetettu juomalasi joko ylösalaisin tai oikein päin. Omituisella mekaniikalla laseihin on kytketty pieni tiuku, joka helähtää, mikäli kaikki lasit ovat samoin päin. Koloihin ei näe, mutta niihin pystyy työntämään käden niin, että tunnustelemalla selviää, kuinka päin lasi on. Lisäksi lasin pystyy kääntämään. Pöytää voidaan pyörittää keskipisteensä ympäri niin, että kun pyöriminen loppuu, ei mitenkään voida paljaalla silmällä päätellä, mikä koloista on mikäkin. Omituinen häkkyrä siis.

Pelataan seuraavanlaisin säännöin: pyöräytetään pöytää, jonka jälkeen työnnetään kädet yhtä aikaa mihin tahansa kahteen eri koloon. Koloissa voi tunnustella laseja ja sen jälkeen kääntää joko molemmat lasit tai vain toisen. Kumpaakaan lasia ei ole pakko kääntää. Tarkasteltavat kolot on kuitenkin valittava samanaikaisesti ja ennen kuin menee räpeltämään mitään. Tavoite on saada tiuku helisemään. Alkutilanne on muuten sattumanvarainen, mutta voidaan olettaa, että kaikki lasit eivät ole samoin päin (sillä silloinhan tiuku helisisi jo).

Mikä on pienin määrä pyöräytyksiä, jonka jälkeen tiu’un saa varmasti helisemään? Miten se tehdään?

Myös tämä pulma on Martin Gardnerilta. Poimin sen mainiosta teoksesta The Colossal Book of Short Puzzles and Problems (W.W. Norton & Co, 2006). Pulman esitettyään Gardner jatkaa, että jos pöydässä olisi vain kaksi koloa, olisi ratkaisu tietenkin triviaali: kädet koloihin ja lasit samoin päin. Myöskään kolmikoloinen pöytä ei ole kovin vaikea ratkaistava. Jos ensimmäisellä yrityksellä molemmat lasit ovat samoin päin, käännetään ne toisin päin ja johan helisee. Jos taas ne ovat eri päin, käännetään ne molemmat esimerkiksi alassuin, jonka jälkeen toisella yrityksellä helinä on varma. Edelleen Gardner toteaa, että voidaan osoittaa, ettei viisikoloista pöytää pysty ratkaisemaan – ainakaan alle kolmekätisenä pyörittäjänä.

Ratkaisu: Viisi pyöräytystä riittää aina. Toimitaan näin:

  1. Otetaan vastakkaisissa koloissa olevat lasit ja käännetään ne molemmat ylöspäin. Jos tiuku ei nyt helise, jatketaan pyörittämistä.
  2. Otetaan vierekkäiset lasit ja käännetään ne ylöspäin, elleivät ne jo ole. Jos tiuku ei vieläkään helise, nyt tiedetään, että kolme laseista on ylöspäin ja yksi alaspäin. Pyöritetään pöytää uudestaan.
  3. Valitaan jälleen vastakkaiset kolot. Jos toinen laseista on alaspäin, käännetään se ja tiuku helisee. Jos taas molemmat ovat ylöspäin, käännetään toinen, jolloin välttämättä kaksi vierekkäistä lasia on ylöspäin ja kaksi vierekkäistä alaspäin. Pyöritetään edelleen.
  4. Valitaan kaksi vierekkäistä koloa. Jos lasit ovat samoin päin, käännetään molemmat ja tiuku helisee. Jos ne taas ovat eri päin, käännetään jälleen molemmat, jolloin varmasti kaksi vastakkaista lasia on ylöspäin ja toiset kaksi vastakkaista alaspäin. Pyöritetään.
  5. Valitaan vastakkaiset lasit ja käännetään ne molemmat toisin päin. Tiuku helisee.
2

Kielletty katse

|

Anneli katselee Börjeä, mutta Börje katselee Christinaa. Anneli on naimaton, mutta Christina on – varjelkoon! –  naimisissa. Onko skandaali valmis? Katseleeko naimaton naimisissa olevaa?

Kuva: Gordon Ross / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Gordon Ross / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Börjen parisuhdestatusta emme tunne, mutta skandaali tästä toden totta seuraa, sillä riippumatta Börjen siviilisäädystä naimaton katselee naimisissa olevaa. jos Börje on naimisissa, katsoja on Anneli, ja jos Börje ei ole naimisissa, hän itse katselee naimisissa olevaa Christinaa.

Vaikka loogisena ongelmana tämä ei ollutkaan kovin hankala, oikeastaan kompatehtävä, on sen ratkaisuperiaatteella muitakin sovellusalueita. Ongelma tuli vastaan mainion James Grimen esittämänä, ja erityisesti tässä videossa oleva lisäongelma valaisee periaatteen käyttömahdollisuuksia.

2

Keikkuva pöytä

|
Kuva: Henning Mühlinghaus / Flickr (CC BY-NC 2.0)

Kuva: Henning Mühlinghaus / Flickr (CC BY-NC 2.0)

Keittiön lattia on hieman epätasainen. Kun lattialle koettaa asettaa pientä nelijalkaista neliönmuotoista pöytää, tuntuu yksi jalka koko ajan keikkuvan vähän ilmassa. Yhden jalan alle asetetulla paperitollolla pöytä saadaan kyllä tuettua.

Jos ei välitetä siitä, jääkö pöydän pinta ihan suoraan vai ei, onko mahdollista löytää lattialta sellainen kohta, että kaikki neljä pöydänjalkaa ovat yhtä aikaa kiinni lattiassa? Vai voiko lattia aaltoilla niin, ettei tällaista kohtaa löydy?

Tämä Martin Gardnerin Scientific Americanissa toukokuussa 1973 esittämä pulma kuuluu suuriin pulmasuosikkeihini.

Ratkaisu: Kuten Antti S. alla kommentoi, tasapaino löytyy kiertämällä korkeintaan 90 astetta pitäen samalla kaksi jalkaa varmasti lattiaa vasten. Kolmas jalka ei voi kohota maasta ennen neljännen siihen osumista. Tällä pulmallahan on muuten ihan käytännön sovelluskin: jos pitää kiivetä vaikkapa jakkaralle lamppua vaihtamaan tai muuten korkealle roikkimaan, voi jakkaran kiertää tasaiseen asentoon, mikäli se ensin hieman keikkuu.

 

0

Kuulat purkissa

|

Purkissa on 75 valkoista kuulaa ja 150 mustaa kuulaa. Purkin vieressä on kasa mustia kuulia. Vähän tylsistynyt opettaja H. ottaa kuulia purkista seuraavilla säännöillä: hän nostaa silmät kiinni kaksi kuulaa ja katsoo, minkä värisiä ne ovat. Jos hän nostaa kaksi valkoista kuulaa, hän heittää ne pois ja laittaa purkkiin yhden mustan kuulan viereisestä kasasta. Jos taas hän nostaa ainakin yhden mustan kuulan, laittaa hän sen viereiseen kasaan ja palauttaa toisen kuulan takaisin purkkiin sen väristä riippumatta. Jokaisen nostokierroksen jälkeen purkissa on yksi kuula vähemmän kuin aiemmin. Lopulta purkkiin jää vain yksi kuula. Minkä värinen se on?

Kuva: Lenny Hirsch / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Lenny Hirsch / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

 

Ratkaisu: Purkin viimeinen kuula on valkoinen, sillä valkoiset kuulat poistuvat purkista vain pareittain.