Piste kolmiossa

Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu tasasivuisen kolmion sisällä oleva piste on lähempänä kolmion painopistettä kuin mitään kolmion sivuista?

Tämän pulman esitti Colin Beveridge Twitterissä. Pulma on hieman hankalampi kuin miltä se päälle päin näyttää, mutta se on ratkaistavissa ihan lukiotiedoilla.

Ratkaisu: Yleisyydestä luopumatta voimme sijoittaa kolmion yhden kärjen origoon ja asettaa sivun pituudeksi $1$ yksikön. Tällöin painopisteen $D$ koordinaatit ovat $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$ . Paraabeli on määritelmänsä mukaan niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä annetusta pisteestä ja annetusta suorasta. Näin ollen kysyttyä aluetta rajaa kolme paraabelin kaarta, eli se jää pisteiden $E$ , $F$ ja $I$ väliin. Symmetrian nojalla voidaan rajoittua kolmioon $ABD$ . Tämän jälkeen tehtävä ratkeaa geometristä todennäköisyyttä soveltamalla.

Kolmion $ABD$ ala on $\frac{\sqrt{3}}{12}$ . Kolmioiden $AGE$ ja $BHF$ alat saadaan yhdenmuotoisuutta soveltamalla: Olkoon $EG$ pystysuora. Nyt tasasivuisen kolmion puolikkaana kulmana kulma $EAG=30^{\circ}$ , jolloin kulma $GEA=60^{\circ}$ . Tästä seuraa, että $\frac{EG}{EA}=\frac{1}{2}$ . Koska paraabelin määritelmän nojalla $EG=ED$ , niin $AE=\frac{2}{3}AD$ , jolloin kolmioiden $AGE$ ja $AJD$ yhdenmuotoisuuden vuoksi saadaan kolmion $AGE$ alaksi $(\frac{2}{3})^2\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{54}$ . Symmetrian nojalla tämä on myös kolmion $BHF$ ala.

Pisteiden $E$ ja $F$ kautta kulkevan paraabelin yhtälön selvittämiseksi huomataan ensin, että paraabelin huipun koordinaattien on oltava $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{12}\right)$ . Tästä saadaan paraabelille ns. huippumuotoinen yhtälö

$y-\frac{\sqrt{3}}{12}=a\left(x-\frac{1}{2}\right)^2,$

Nyt, edellisen mittakaavatarkastelun perusteella saadaan paraabelin pisteelle $E$ koordinaatit $E=\left(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$ . Yllä olevan yhtälöön sijoittamalla saadaan, että $a=\sqrt{3}$ . Pisteiden $E$ , $F$ , $G$ ja $H$ välinen ala saadaan määrättynä integraalina

$A_{EFGH}=\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \left(\sqrt{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{3}}{12}\right)dx=\frac{5}{54\sqrt{3}}.$

Nyt siis kysytty todennäköisyys on

$\frac{A_{ABD}-A_{AGE}-A_{EFGH}-A_{BHF}}{A_{ABD}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{\sqrt{3}}{54}-\frac{5}{54\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{54}}{\frac{\sqrt{3}}{12}}=\frac{5}{27}.$

Muokattu 31.3.2016: Lukijamme Kössi huomasi, että painopisteen $y$ -koordinaatti oli kaksinkertainen oikeaan painopisteeseen verrattuna. Se on nyt korjattu oikeaksi, eli kolmion painopiste todella on $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$ . Lisäksi Kössi toivoi selvennystä siihen, miksi pisteet $G$ ja $H$ jakavat kannan $AB$ suhteessa $1:1:1$ . Toivoakseni tämä muokattu ratkaisu vastaa nyt tuohonkin kysymykseen paremmin. Tarkempaa tehtävän analysointia ja vaihtoehtoisia ratkaisutapoja löytyy osoitteesta http://math.stackexchange.com/questions/1688936/what-is-the-probability-that-a-point-chosen-randomly-from-inside-an-equilateral.

Opettaja H:n pulmakulma

OpettajaH.fi

Piste kolmiossa

Aiheeseen liittyy

Vastaa Peruuta vastaus

Pistä kiertoon:

Aiheeseen liittyy

Vastaa Peruuta vastaus