Monthly Archives: helmikuu 2016

0

Kulmanpuolittajien välinen kulma

|

Kuinka suuressa kulmassa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien puolittajat leikkaavat? Entä yleistyykö tämä tulos myös muihin kolmioihin?

Ratkaisu: kulmanpuolittajat

Tutkitaan kolmiota ABC, jonka kulma C on suora. Olkoot kulman A suuruus \alpha ja kulman B vastaavasti \beta. Näin ollen \alpha + \beta = 90^{\circ}. Tutkitaan sitten kulmanpuolittajien ja hypotenuusan rajaamaa kolmiota ABD. Nyt koska \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\delta=180^{\circ}, ja koska \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}, niin välttämättä \delta=135^{\circ}. Toinen kulmanpuolittajien välisistä kulmista on tämän vieruskulma, eli 45^{\circ}.

Tulos on aika hauska ja toimii selvästi kaikissa suorakulmaisissa kolmioissa. Ihan yhtä nätisti tämä tulos ei kaikkiin kolmioihin yleisty, sillä jos alkuperäisen kolmion kolmas kulma olisi \gamma, jäisi kulmanpuolittajien välisiksi kulmiksi tällöin 90^{\circ}+\frac{\gamma}{2} ja 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.

2

Söherryksen topologiaa

|

Piirrä mikä tahansa suljettu käyrä. Piirrä sen päälle mikä tahansa suljettu käyrä, joka ei kulje aiempien leikkauspisteiden kautta. Tässä kannattaa selvyyden vuoksi käyttää jotain toista väriä. Osoita, että käyrillä on parillinen määrä leikkauspisteitä.gardnertopologia

Tämä on Martin Gardnerin ongelma Scientific Americanin heinäkuun 1971 numerosta. Kuvan olen ehdottomasti piirtänyt itse, kuten asiantuntijat huomaavatkin.

Muokkaus 15.2.2016: Lukijamme Antti huomasi alkuperäisessä tehtävänannossa pienen huolimattomuusvirheen. Toinen käyrä ei saa kulkea aiempien leikkauspisteiden kautta. Pulma on nyt sellainen kuin pitääkin.

Ratkaisu: Ensin piirretty käyrä jakaa tason johonkin määrään osia. Ajatellaan, että kuljetaan jälkimmäinen käyrä koko matkaltaan alkaen jostakin pisteestä. Jos käyrä menee sisään johonkin ensimmäisen käyrän luomista alueista, on sen aina tultava sieltä myös pois. Leikkauskohtia on siis välttämättä parillinen määrä.

0

Kadonnut euro

|

Kolme ystävystä oli ravintolassa. Kun laskun maksamisen aika tuli, jokainen ystävyksistä maksoi yhteisestä laskusta 15 euroa käteisellä. Kassanhoitaja huomasi kuitenkin laskuttaneensa heiltä viisi euroa liikaa ja käski tarjoilijaa palauttamaan rahan ystävyksille. Tarjoilija huomasi kuitenkin, ettei hän pystynyt jakamaan ylimääräistä viitosta tasan ystävysten kesken, joten hän turvautui röyhkeään temppuun: hän antoi kullekin ystävyksistä vain euron takaisin ja jemmasi kaksi euroa taskuunsa.

Mutta hetkinen… Ystävykset ovat nyt siis saaneet kukin euron takaisin, eli he ovat maksaneet 14 euroa per nuppi, 3\cdot 14=42. Tähän lisätään tarjoilijan kähveltämät kaksi euroa, joten saadaan yhteensä 44 euroa. Mihin yksi euro hävisi?

Ratkaisu: Tämä klassikkokompa esiintyy monissa lähteissä erilaisin variaatioin. Vastaus on tietenkin, ettei euro häviä minnekään, vaan koko kysymys on väärin aseteltu lukijan hämmentämiseksi. Ystävykset maksavat 45 euroa. Kassanhoitaja palauttaa viisi euroa, josta tarjoilija vetää välistä kaksi. Kolme euroa palautuu ystävyksille. Nyt siis 45 eurosta ravintola saa 40, tarjoilija 2 ja ystävykset 3. Menitkö lankaan?

0

Keskinopea juna

|

Tavarajuna ajaa pysähtymättä 800 kilometriä täsmälleen 80 kilometrin keskituntinopeudella. Sen nopeus ei kuitenkaan pysy matkan varrella vakiona. Osoita, että juna ajaa jonkin 80 kilometrin mittaisen pätkän matkastaan täsmälleen yhdessä tunnissa.

Tämä ongelma on jälleen Martin Gardneria parhaimmillaan, alkujaan Scientific American -lehden joulukuun 1979 numerosta.

Kuva: Henk Sijgers/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Kuva: Henk Sijgers/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Jaetaan matka-aika kymmeneen tunnin mittaiseen pätkään. Jos juna kulkee jonkin näistä aikana täsmälleen 80 kilometriä, on ongelma ratkaistu. Jos taas yhdessäkään näistä juna ei kulje täsmälleen 80 kilometriä, valitaan kaksi peräkkäistä pätkää, joista toisen aikana matkataan hieman yli ja toisen aikana hieman alle 80 kilometriä — kuinka päin, sillä ei ole väliä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että ensimmäisellä pätkällä keskinopeus oli jonkin verran alle 80 km/h.

Kuvitellaan nyt, että meillä on tunnin mittainen aikajanatikku. Asetetaan se ensin ensimmäisen pätkän alkuun ja aletaan sitten liikuttaa sitä kohti jälkimmäisen pätkän loppua. Aikajanatikun osoittamana aikana kuljettu matka on aluksi alle 80 kilometriä ja lopuksi yli 80 kilometriä. Koska muutos on jatkuva, osuu johonkin kohtaan alku- ja loppupisteiden välille tasan tunnin mittainen pätkä, jonka aikana juna kulkee täsmälleen 80 kilometriä.

Pulmasta tekemäni Geogebra-appletti on saatavilla vapaasti Geogebratubessa. Ongelmaa vastaava kuvaaja on piirretty aika–matka-koordinaatistoon, jossa kunkin aikavälin keskinopeuden saa sekantin kulmakertoimena.

0

Ménage à quatre

|

Hyvin tunnetussa (ja varsin helpossa) matemaattisessa ongelmassa pitää kuljettaa susi, lammas ja kaali veneellä joen yli, johon soutajan lisäksi mahtuu vain yksi muu matkustaja. Jutun juju on tietenkin se, että ellei soutaja ole paikalla vahtimassa, syö susi lampaan ja lammas kaalin. Kysymys kuuluu, kuinka nämä saadaan yhtenä kappaleena joen yli. Ratkaisepa tämä ensin, ellet ole jo ratkaissut!

Ian Stewart pistää kirjassaan Another Fine Math You’ve Got Me Into… vielä paremmaksi. Nyt kuljetettavana on mörkö, susi, lammas ja kaali, eikä veneeseen edelleenkään mahdu soutajan lisäksi kuin yksi muu matkalainen. Susi syö yhä lampaan ja lammas kaalin, ellei niitä valvota. Mörkö puolestaan iskee valvomattomana välittömästi hampaansa suteen, mikäli paikalla ei ole kaalia (jota se ei syö). Saadaanko retkue toisiaan popsimatta joen toiselle penkalle?

Kuva: Hasibul Haque Sakib/Flickr

Kuva: Hasibul Haque Sakib/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Kuljetus onnistuu, vaikka mörkö onkin häiritsemässä. Ongelman voi ratkaista ihan päättelemälläkin, mutta mielestäni yksi kiehtova ratkaisutapa on tehdä geometrinen visualisointi tilanteesta. Näin tulkittuna ongelma on sukua taannoiselle muurahaisen vaikealle juoksulle.

Ratkaisuun tarvitaan tesseraktia eli neliulotteista hyperkuutiota, joka on muuten ihan samanlainen kuin tavallinen kolmiulotteinen kuutio, mutta sen jokaisessa kärjessä kohtaa neljä särmää kolmen sijasta.

Kuva: Sonja Šumonja/Geogebratube (CC BY-SA); muokkaus Hannu Sinisalo

Kuva: Sonja Šumonja/Geogebratube (CC BY-SA); muokkaus Hannu Sinisalo

Tavoitteena on päästä (kaali, lammas, susi, mörkö)-koordinaatiston pisteestä (0, 0, 0, 0) pisteeseen (1, 1, 1, 1), jossa jokainen koordinaatin vaihto vaihtaa yhden siirreltävän luontokappaleen paikkaa joen yhdeltä puolelta toiselle. Jokaisen koordinaatin vaihto vastaa tesseraktin yhden särmän kulkemista. Jokaisessa tesseraktin kärjessä osa särmistä poissuljetaan mahdottomina ja lopuista valitaan reitti, jolla jatketaan eteenpäin.

Ensimmäinen siirrettävä on oltava lammas. Siis ensimmäinen piste, johon origosta päädytään on pakko olla (0,1,0,0). Tämän jälkeen viedään mörkö, eli siirrymme pisteeseen (0,1,0,1). Sitten viedään kaali siirtymällä pisteeseen (1,1,0,1) ja tuodaan lammas takaisin siirrolla (1,0,0,1). Sitten viedään susi (1,0,1,1), ja lopulta viimeiseksi viedään lammas uudestaan (1,1,1,1).

Koetapa löytää ongelmaan vielä toinenkin ratkaisu – sellainen on olemassa.