Monthly Archives: tammikuu 2016

2

Ajatustenlukutemppu

|

Valmistele neljä lappua tai korttia tai taulua, joihin kirjoitat seuraavat luvut:

  1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
  2. 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15
  3. 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15
  4. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Tämän jälkeen käske temppusi uhrin ajatella jotain kokonaislukua väliltä 1-15. Sitten kysyt, mistä kaikista lapuista hänen lukunsa löytyy. Tämän jälkeen pamautat välittömästi hänen ajattelemansa luvun. Saat luvun helposti laskemalla yhteen ensimmäisen luvun jokaisesta lapusta, jonka toverisi mainitsee. Jos siis vaikka hän olisi ajatellut lukua 13, hän olisi sanonut, että luku löytyy tauluista 1, 3 ja 4, jonka jälkeen laskisit vain 1+4+8=13.

Temppu on hämmästyttävän hauska ja helppo. Se tuli vastaan Rob Eastawayn ja Jeremy Wyndhamin kirjassa Why do Buses Come in Threes? Viikon helppo kysymys on tietenkin se, miksi temppu toimii.

Ratkaisu: Kuten Mikko kommentoikin, ovat tempun taustalla lukujen 1-15 nelibittiset binääriesitykset. Esimerkiksi 13=1101_2, eli se saadaan laskemalla 1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+ 0\cdot 2^1+1. Jokainen luku, jossa viimeinen bitti on ykkönen, on lapussa 1. Vastaavasti toiseksi viimeistä ykköstä tarvitsevat luvut ovat lapussa 2, toisen bitin ykköset lapussa 3 ja ensimmäisen bitin ykköset lapussa 4.

Temppu on kuten sanottua erittäin helppo, mutta aion käyttää sitä jatkossa opettaessani binäärilukujen käyttöä. Erittäin hyvää oppituntimateriaalia!

0

Pythagoraan luvut

|

Näyttökuva 2016-1-24 kello 16.50.39Pythagoras (n. 585–496 eaa.) oli antiikin Kreikan tunnetuimpia matemaatikkoja. Hän perusti esoteerisen koulukunnan, jossa matematiikkaan sotkettiin uskonnollisia elementtejä. Pythagoralaisesta koulukunnasta on peräisin paljon tiedettä – filosofiaa, matematiikkaa, uskontotiedettä ja musiikkia.

Ehkäpä tunnetuin matemaattinen tulos on Pythagoraan lause. Se ei ole Pythagoraan keksimä, sillä tulos tunnettiin jo satoja vuosia aiemmin monissa Välimeren alueen ja Lähi-Idän kulttuureissa. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa suoraa kulmaa vastaavan sivun (hypotenuusan) pituuden neliö on yhtä suuri suoran kulman kylkien (kateettien) neliöiden summan kanssa. Tai siis tutummin (ks. kuva): a^2+b^2=c^2.

Pythagoraan lauseen toteuttavia lukukolmikoita kutsutaan Pythagoraan luvuiksi. Esimerkiksi 3, 4 ja 5 ovat Pythagoraan lukuja, sillä 3^2+4^2=5^2.

Pythagoraan luvuiksi kelpaavat melkein mitkä tahansa luvut, mutta eivät aivan mitkä tahansa. Osoita, että 1, 2 ja 4 ovat ainoat luvut, jotka eivät voi olla lyhimpiä sivuja suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kaikki sivut ovat kokonaislukuja.

Ratkaisu: Tämä ongelma tuli mieleeni ihan äkkiseltään kesken matematiikan oppituntini, kun äkkäsin, kuinka mikä tahansa pariton luku ykköstä lukuunottamatta saadaan Pythagoraan kolmikon pienimmäksi luvuksi. Aloin tutkia aivan tietynlaisia lukukolmikkoja, joista pienin luku on pariton. 3, 4, 5. Tai 5, 12, 13. Tai 7, 24, 25. Ja niin edelleen. Äkkiä tajusin, että tässä oleva kuvio yleistyy: mikä tahansa pariton luku voidaan laittaa pienimmäksi luvuksi sellaisessa Pythagoraan kolmikossa, jossa kaksi suurempaa lukua ovat peräkkäisiä. Tämä toimii, koska jokaisen parittoman luvun neliö on pariton, eli kahden peräkkäisen luvun summa. Ja juuri nämä ovat ne kaksi peräkkäistä lukua, jotka muodostavat pienimmän lukumme kanssa Pythagoraan kolmikon. Siis vaikkapa 7^2=49=24+25 ja edelleen 24^2+24+25=25^2, ja Pythagoraan lauseen mukainen tulos 24^2+7^2=25^2 on valmis. Nyt voidaan heti sanoa, että koska 13^2=169=84+85, niin varmasti 84^2+13^2=85^2.1

Tämän jälkeen tajusin nopeasti, että koska mikä tahansa Pythagoraan kolmikon monikerta on myös Pythagoraan kolmikko, ainoat mahdolliset luvut, jotka eivät voi olla Pythagoraan luvuista pienimpiä, ovat kakkosen potensseja. Nyt sain hieman apua kollegaltani Antti Saariselta, joka löysi kokeilemalla pari vastaesimerkkiä ensimmäiselle hypoteesilleni, että kakkosen potenssit jäävät kolmikoiden ulkopuolelle. Niinpä oli löydettävä vielä pienin kakkosen potenssi, joka sopii Pythagoraan kolmikkoon pienimmäksi.

Olkoon kolmiossa voimassa a^2+b^2=c^2. Tällöin a^2=c^2-b^2, joka puolestaan voidaan kirjoittaa muotoon a^2=(c+b)(c-b). On siis yritettävä löytää sellaiset luvut b ja c, että niiden summan ja erotuksen tulo olisi jokin kakkosen potenssi. Ja nyt 8^2=64=32\cdot 2=(17+15)(17-15), mutta 4^2=16=(5+3)(5-3) ei kelpaa. Myöskään luvuille 2 ja 1 ei tällaista tuloa voida löytää.

Näin ollen voidaan todeta, että 1, 2 ja 4 todellakin ovat ainoat positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät voi olla lyhimpiä sivuja suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kaikkien sivujen pituudet ovat kokonaislukuja. Se, onko tästä mitään hyötyä, on eri asia. Minun mielestäni tulos on kuitenkin sangen hauska.

0

1089

|

Tässäpä oiva temppu. Ajattele mitä tahansa kolminumeroista lukua, joka koostuu eri numeroista1. Lue luku myös lopusta alkuun ja vähennä isommasta luvusta pienempi. Käännä tämä erotus myös lopusta alkuun ja laske yhteen edellisen luvun kanssa. Tulos on aina 1089.

Siis esimerkiksi: ajattelen lukua 497. Seuraava luku on 794. Siis 794-497=297. Ja nyt 297+792=1089.

Tämä hiljattain mieleeni palannut temppu on yksi ”matemagiikan” klassikoista. Taisin törmätä siihen ensimmäisen kerran joitakin vuosia sitten lukemassani David Achesonin kirjassa 1089 And All That. Viikon vaikea kysymys on, miksi temppu toimii.

Ratkaisu: Ajatellaan, että kolminumeroinen lukumme on abc, jossa yleisyydestä luopumatta voidaan olettaa, että a>c. Nyt siis ensimmäinen erotus saa muodon (a\cdot 100+b\cdot 10+c)-(c\cdot 100+b\cdot 10+a)=(a-c)\cdot 100+(c-a). Nyt (c-a)<0, joten saatu erotus voidaan kirjoittaa muotoon (a-c-1)\cdot 100+90+(10-(a-c)). Ja nyt kun tähän lisätään (10-(a-c))\cdot 100+90+(a-c-1), on tuloksena aina 900+180+9=1089.

Muuten, temppua voi jatkaa seuraavasti, jos käsillä on laskin: lisää saamaasi lukuun (eli 1089) vielä 200, jaa 10000:llä ja kerro saamasi luku kuudella. Ja koska tässä on ollut kyse lukujen kääntelystä, käännä nyt koko laskimen näyttö ylösalaisin.

Tämä temppu jatkoineen tuli eteen Rob Eastawayn ja Jeremy Wyndhamin kirjassa Why do Buses Come in Threes? joka oli jälleen hyvä esimerkki kirjasta, jonka hankin pelkän nimen perusteella, kun luotettava henkilö sitä suositteli. Suosittelen minäkin.

0

Pojat pimeässä

|

Kössi, Johannes, Tuomas ja Mikko ovat pimeässä metsässä kapean polun päässä. Heidän pitäisi ehtiä 16 minuutin päästä lähtevään linja-autoon, mutta polun vaarojen ja monttujen vuoksi he tarvitsevat lampun. Heillä on vain yksi lamppu, eikä valo riitä kerrallaan kuin kahdelle pojalle turvalliseen kulkuun. Nopsajalkainen Kössi tarvitsee polun kulkemiseen vain minuutin, ponteva Johannes kaksi minuuttia, jalkaansa rakon saanut Tuomas viisi minuuttia ja nilkkansa nyrjäyttänyt Mikko kahdeksan minuuttia. Voivatko pojat ehtiä bussiin?

Kuva: Jon Bunting/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Jon Bunting/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Pojat ehtivät bussiin seuraavasti:

  • Kössi ja Johannes menevät ensin. (2 minuuttia)
  • Kössi palaa takaisin tuoden lampun Mikolle ja Tuomaalle. (1 minuutti)
  • Tuomas ja Mikko menevät pysäkille. (8 minuuttia)
  • Johannes palaa takaisin. (2 minuuttia)
  • Johannes ja Kössi palaavat pysäkille. (2 minuuttia)

Yhteensä aikaa kuluu siis 15 minuuttia, joten heillä on aluksi vieläpä minuutti aikaa ratkaista tämä pulma.

 

0

Kolikko pullossa

|

Tyhjään viinipulloon laitetaan 10 sentin kolikko ja laitetaan pullon suulle korkki. Miten saat rahan pullosta, jos pulloa ei saa rikkoa eikä korkkia saa ottaa pois?

Ratkaisu: James Harrisonin ja Mike Hobbsin Käytä aivojasi tehokkaasti -kirjassa (Otava 2011) neuvotaan työntämään korkki pulloon ja ravistamaan pulloa. Mutta eikö paljon helpompaa (ja ekologisempaa) olisi viedä pullo kaupan palautuspisteeseen?

0

Pimeät sukat

|

Pimeän vaatehuoneen sukkalaatikossa on 16 punaista sukkaa ja 20 sinistä sukkaa. Montako sukkaa minun pitää vähintään laatikosta ottaa, jotta saan varmasti parin samanvärisiä sukkia?

No. Tämä oli ihan liian helppo. Laitetaan vähän lisää panoksia. Laatikossa on yhtä monta sinistä ja punaista sukkaa. Tiedetään, että pienin määrä, joka sukkia pitää nostaa laatikosta, jotta saataisiin ainakin kaksi samanväristä sukkaa, on sama kuin määrä, joka pitää nostaa, jotta saataisiin varmasti kaksi eriväristä sukkaa. Montako sukkaa laatikossa on?

Ratkaisu: Ensimmäisen kysymyksen vastaus on kolme. Toisen kysymyksen vastaus on neljä.

2

Uusi vuosi

|
Kuva: Maria Morri/Flickr (CC BY-SA 2.0)

Kuva: Maria Morri/Flickr (CC BY-SA 2.0)

Vuoden 2016 alku tarkoitti binäärilukuna hauskannäköistä siirtymää vuodesta 11111011111 vuoteen 11111100000.

On myös olemassa tapoja esittää luku 2016 vain yhtä numeroa ja joitakin laskutoimitussymboleja käyttäen. Koska 2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7, on se jaollinen muiden muassa luvuilla 2, 3, 6, 7 ja 9, joten se voidaan totta kai kirjoittaa tylsästi esimerkiksi 3+3+3+\cdots riittävän monta kertaa. Tämän viikon vaikeana kysytään kuitenkin hieman kiehtovampaa tapaa esittää luku 2016.

Pystytkö esittämään luvun 2016, jos käytettävissäsi on vain yksi numero korkeintaan viisi kertaa sekä mitä tahansa laskutoimitussymboleja? Tai pystytkö keksimään jonkin muun kuin pelkkään yhteenlaskuun perustuvan tavan hyödyntää yhtä yksinumeroista lukua?

 

Ratkaisu: Uusi vuosi on aina numeronikkareille uusi hauska haaste. Kuinka ollakaan, suosikkimatemaatikkoihini kuuluva Alex Bellos kysyi vuoden 2016 rakentelemista The Guardianin palstallaan. Sieltä löytyi esittämääni ongelmaan vaihtoehtoinen ratkaisu, jota en ollut itse ajatellut. Nimittäin Bellosin ratkaisu on 2016=(4+4)\cdot(4^4-4).

Itseäni silti naurattaa vielä enemmän alkuperäinen löytöni uudenvuodenyöltä Twitteristä. Pelleilläänpä vähän binomikertoimilla. Nyt huomataan, että \binom{64}{2}=2016. Edelleen 2^6=64 ja \binom{4}{2}=6 ja vielä 2^2=4. Pysyttekö mukana? Tästä saadaan riemukkaasti, että

    \[2016=\binom{2^{\binom{2^2}{2}}}{2}.\]

Alex Bellos kysyi myös sitä, kuinka vuosi 2016 voitaisiin esittää lukujen 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 ja 1 avulla. Hän sai valtavasti vastauksia, joista hillittömin oli Sebastian Radun vastaus:

    \[2016=[(10\sqrt{9}\cdot 8! / 7) \quad (\mbox{modulo }6^5)] + 4!\cdot 3!\cdot 2! + \arccos 1.\]

Hyvää uutta vuotta 2016 toivoo Opettaja H:n pulmakulman henkilökunta.