Monthly Archives: marraskuu 2015

0

Kuunsirppi

|
Kuva: Thomas Bresson/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Thomas Bresson/Flickr (CC BY 2.0)

Seuraava pulma on peräisin professori Ian Stewartin Incredible Numbers-sovelluksesta iPadille, jossa on paljon muutakin mukavaa matemaattista opittavaa ja mietiskeltävää. Stewartin kirja Kirjeitä nuorelle matemaatikolle (Terra Cognita 2007) on muuten yksi tärkeimmistä populaarimatematiikan nykyesityksistä. Suosittelen sitäkin!

Mutta asiaan.

Leikkaa oheinen kuunsirppi kahdella suoralla leikkauksella kuuteen osaan siirtämättä osia leikkausten välillä.

 

Ratkaisu: Näin se käy:

Kuu

2

Paras lottorivi

|

Lotto on Italiassa keksitty arpajaispeli. Suomessa Veikkaus aloitti lottoarvonnat vuonna 1970. Lotto vakiinnutti asemansa Suomessa nopeasti suosituimpana rahapelinä, ja edellen jokaviikkoiset miljoonapotit tuovat jännitystä suureen osaan suomalaisperheistä. Tämänkertaisessa viikon vaikeassa pulmassa puututaan kaikille tutun onnenpelin matematiikkaan.

Suomalaisessa lottoarvonnassa arvotaan numeroiden 1,2,3,\ldots , 39 joukosta sattumanvaraisessa järjestyksessä seitsemän numeroa, jotka sitten ilmoitetaan oikeana ”rivinä” pienimmästä suurimpaan. Esimerkiksi jos arvotut numerot olisivat olleet arvontajärjestyksessä 2,16, 32, 12, 1, 28 ja 17, ilmoitettaisiin voittorivinä 1, 2, 12, 16, 17, 28, 32. Mikä on todennäköisin voittorivin ensimmäinen numero? Mikä on todennäköisin toinen numero? Entä mitkä ovat todennäköisimmät kolmas, neljäs, viides, kuudes ja seitsemäs numero? Onko näin löydetty numerosarja kaikkein todennäköisin lottorivi?

Ratkaisu: Tehtävän ratkaisu perustuu tuloperiaatteeseen: jos jokin kokonaisuus voidaan toteuttaa k-vaiheisesti niin, että jokaisessa vaiheessa on n_k vaihtoehtoa, on erilaisten kokonaisuuksien lukumäärä n_1\cdot n_2\cdot \cdots \cdot n_k. Toinen tarvittava esitieto on n-alkioisen joukon k-alkioisten osajoukkojen, eli k-kombinaatioiden, lukumäärä. Tätä kombinaatioden lukumäärää merkitään \binom{n}{k} (luetaan ”n yli k:n”), ja se on

    \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Merkintä n! tarkoitttaa luvun n kertomaa, eli lukua n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1.

Olkoon n kokonaisluku, 1\leq n\leq 39 ja olkoon 1\leq p\leq 7 luvun n paikka rivissä. Rivin numerot ennen numeroa n voidaan valita \binom{n-1}{p-1} tavalla ja sen jälkeen tulevat \binom{39-n}{7-p} tavalla. Yhteensä rivejä, jossa numero n on paikalla p, on tuloperiaatteen mukaan \binom{n-1}{p-1}\cdot\binom{39-n}{7-p} kappaletta.

Tämän jälkeen annetaan taulukkolaskentaohjelman hoitaa työ loppuun. Tuloksena on, että todennäköisimmistä numeroista koottu rivi olisi 1, 7, 13  tai 14 (yhtä todennäköiset), 20, 26 tai 27, 33 ja 39. Kokonaista lottorivitaulukkoa pääset tarkastelemaan tästä.

Näistä numeroista muodostuvat neljä lottoriviä ovat kaikkein todennäköisimmät, mutta yhtä todennäköisiä ovat kaikki muutkin 15380933 mahdollista riviä.

0

Kutsuvieraiden kättelyt

|
Kuva: Dan Beard/Cosmopolitan Magazine (Public Domain), via Wikimedia Commons

Kuva: Dan Beard/Cosmopolitan Magazine (Public Domain), via Wikimedia Commons

Palataanpa jälleen klassisten Martin Gardnerin pulmien pariin.

Kutsuilla oli minun ja puolisoni lisäksi neljä muuta pariskuntaa. Kuten kohteliasta on, osa vieraista tervehti toisiaan kutsujen aluksi kätellen. Kukaan ei kätellyt puolisoaan, eikä kukaan kätellyt kenenkään kanssa kahdesti. Kättelyiden jälkeen kysyin kaikilta muilta, kuinka monen henkilön kanssa he olivat kätelleet. Jokainen vastasi eri lukumäärän. Monenko kanssa puolisoni kätteli?

 

Ratkaisu: Yhden henkilön suurin määrä kättelyitä voi olla kahdeksan. Koska minun lisäkseni henkilöitä on yhdeksän, heidän kättelymääränsä ovat varmasti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 8. Joukossamme on siis joku, joka kättelee kaikkia muita paitsi omaa puolisoaan. Tällöin hänen puolisonsa täytyy olla se, joka ei kättele ketään, sillä kaikki muut ovat kätelleet jo ainakin kerran.

Joukosta löytyy myös seitsemän kertaa kätellyt henkilö. Hän kättelee muita paitsi puolisoaan ja nolla kertaa kätellyttä. Nyt kaikki muut paitsi seitsenkertaisen puoliso (ja nollasti kättelevä) ovat kätelleet ainakin kahdesti. Siis seitsemän kättelyn pari on kerran kättelevä. Vastaavasti kuuden kättelyn pari on kahdesti kättelevä ja viidesti kättelevän pari kolmesti kättelevä.

Tämän jälkeen jäljelle jää pariskunta, jonka molemmat puoliskot kättelevät neljästi. Siis puolisoni ja minä.

2

Paiholalainen pankkineuvoja

|

Tämä on hieman erilainen ongelma kuin oikeastaan kaikki muut tässä blogissa aiemmin esitellyt pulmat. Nyt nimittäin siirrytään matematiikkaa hieman vähemmän eksaktin tieteen eli pörssikeinottelun pariin. Ja koska tiede ei ole ihan niin eksaktia, myöskään ongelman muotoilu (ja sitä myöden myöskään sen ratkaisu) eivät välttämättä ole ihan tarkkoja. Mutta asiaan. Kiinnostava ja toivottavasti ajatuksia herättävä juttu tämä on silti.

Saat tekstiviestin tuntemattomalta paiholalaiselta pankkineuvojalta. Hän kertoo, että Härrä oyj:n osakekurssi nousee päivän loppuun mennessä. Et varsinaisesti seuraa pörssikursseja etkä muutenkaan ole mikään pien- tai suursijoittaja. Yllättävä viesti kuitenkin herättää kiinnostuksesi, ja käyt katsomassa Härrä oyj:n päivän kehityksen. Ja kyllä – kurssi on tanakassa nousussa! Seuraavana päivänä paiholalainen pankkineuvoja lähettää sinulle viestin ja sanoo, että Aatun appeen ja murkinan kurssi on laskussa. Näin myös näyttäisi olevan.

Sama toistuu parin viikon ajan. Paiholalainen pankkineuvoja osuu prognooseissaan kymmenen kertaa peräkkäin oikeaan. Onko hän satumainen pörssiguru? Pitäisikö sinun antaa raha-asiasi hänen hoidettavakseen?

Ratkaisu: Yhtä täysin oikeaa vastausta tähän kysymykseen on vaikea antaa. Periaatteessa on täysin mahdollista, että pörssiä tarkkaan seuraava toimija pystyy ymmärtämään markkinoiden liikkeitä ja ennustamaan tulevaa erinomaisestikin. Talouselämän lait ovat sellaisia.

Mutta toki taustalla voi olla myös klassinen huijaritapaus, jonka ansaintalogiikka muistuttaa hieman roskapostiviestien nigerialaiskirjeitä. Sanotaan vaikka, että pankkineuvoja lähettää ensimmäisellä kerralla 10240 viestiä eri henkilöille. Nykyään, kun tekstiviestitkin useimmiten sisältyvät puhelinlaskun kokonaissummaan, ei tuollainen määrä ole varsinaisesti mikään ongelma. Oletetaan, että puolessa viesteistä ennustetaan Härrän kurssin nousua, puolessa laskua. Ne, joiden kohdalla povaus menee pieleen, eivät enää neuvojasta kuule. Niille 5120 henkilölle, jotka puolestaan saavat oikean vinkin, lähetetään seuraava vinkki, joka toiselle kurssinousua, joka toiselle kurssilaskua. Ja niin edelleen. Kymmenen kerran jälkeen jäljellä on vielä 10 henkilöä, joista jokainen on saanut oikean vinkin joka kerralla. Jos edes joku näistä antaisi rahansa paiholalaishuijarille, voisi hän luikkia tiehensä hyvän tilin tehneenä.

Tämä pulma tuli vastaan Jordan Ellenbergin kirjassa How Not To Be Wrong, joka ilmeisesti on myös jossain vaiheessa tulossa suomeksi. Toivottavasti pian, sillä kyse on erittäin suositeltavasta opuksesta.

1

Loogiset lautapelaajat

|

Ystävykset Hannu, Mikko ja Tuomo pelaavat lautapeliä. Pystytkö selvittämään herrojen pelinappuloiden värit, kun tiedetään, että ne ovat punaiset, vihreät ja violetit, ja että seuraavista väittämistä täsmälleen yksi pitää paikkansa:

  • Hannu pelaa punaisilla.
  • Mikko ei pelaa punaisilla.
  • Tuomo ei pelaa violeteilla.
Kuva: Mikko Saari / Boardgamegeek (CC BY-NC-SA 3.0)

Kuva: Mikko Saari / Boardgamegeek (CC BY-NC-SA 3.0)

Tämä pulma taitaa olla yksi modernin lauselogiikan vanhimmista, ja sen on jossakin muodossa esittänyt jo logiikan ja tietokonearitmetiikan grand old man George Boole, jonka syntymästä tuli marraskuun 2015 alussa kuluneeksi 200 vuotta.

 

Ratkaisu: Erilaisia kolmen pelivärin yhdistelmiä on vain kuusi erilaista. Nämä kaikki läpikäymällä (mikä näin pienen aineiston yhteydessä yleensä on riittävän yksinkertainen ratkaisutapa) oikea väriyhdistelmä löytyy helposti.

Toisaalta pelkkä järkeilykin vie perille. Selvästikään Hannun väri ei voi olla punainen, sillä jos olisi, myös Mikkoa koskeva väite olisi totta. Jos taas Mikko ei pelaa punaisilla, Tuomon olisi pakko pelata violeteilla, tai muuten häntä koskeva väittämä pitäisi paikkansa. Tällöin Hannu saisi punaiset, mikä olisi mahdotonta, koska myös näin tulisi kaksi totta väitettä. Siis on oltava niin, että Tuomo ei pelaa violeteilla on totta. Tällöin Mikko pelaa punaisilla ja Hannu ei, ja koska Tuomo ei pelaa violeteilla, on violetti Hannun ja vihreä Tuomon väri.

(Kyllä, tässä pulmassa esiintyneille henkilöille oikeine peliväreineen saattaa löytyä jonkinlaisia vastineita tosielämässä.)

1

Peräkkäisten kokonaislukujen summa

|

Tämänkertainen pulmamme on kaksiosainen – viikon helppo ja viikon vaikea samassa paketissa. Löysin tämän lukuteoreettisen ongelman standup-matemaatikkona esiintyvän Matt Parkerin ensiluokkaisesta kirjasta Things To Make And Do In Fourth Dimension, ja se kuuluu seuraavasti.

Etsi lukujen 10 ja 20 väliltä ainoa kokonaisluku, jota ei voida esittää kahden tai useamman peräkkäisen positiivisen kokonaisluvun summana. Kun olet löytänyt sen, etsi sellainen (ainoa lajiaan, muuten) lukujen 30 ja 40 väliltä. Entä löydätkö lukujen 20 ja 30 väliltä tällaisia lukuja? Tässä lienee riittävästi purtavaa viikon helpon pulman tarpeisiin.

Vaikeampi pulma on tietenkin löytää kaikki sellaiset positiiviset kokonaisluvut, joita ei voida esittää peräkkäisten positiivisten lukujen summana. Entä miten tämä voidaan osoittaa?

Ratkaisu: Lukujen 10 ja 20 väliltä ainoa luku, jota ei voida esittää kahden tai useamman peräkkäisen luvun summana on 16. Lukujen 30 ja 40 väliltä löytyy tällaisista luvuista luku 32. Lukujen 20 ja 30 välillä ei tällaisia lukuja ole. Onko tässä vinkkiä tarpeeksi? Kyllä vain: kaikki muut luvut voidaan esittää peräkkäisten lukujen summina paitsi kakkosen potenssit. Todistetaan tämä:

Aloitetaan yksinkertaisesti. Kaikki parittomat luvut voidaan esittää muodossa 2n+1, missä n on jokin kokonaisluku. Tämä tarkoittaa heti sitä, että pariton luku voidaan ilmoittaa muodossa n+(n+1), eli kahden peräkkäisen luvun summana.

Siirrytään sitten parillisiin lukuihin. Jos luku on jaollinen kolmella, se voidaan ilmoittaa muodossa 3n, missä n on kokonaisluku. Toisaalta

    \[3n=(n-1)+n+(n+1),\]

joten kaikki kolmella jaolliset luvut voidaan esittää kolmen peräkkäisen luvun summana. Itse asiassa on helppo huomata, että

    \[5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2),\]

ja että sama idea yleistyy välittömästi kaikille muillekin parittomalla luvulla jaollisille kokonaisluvuille. Näin on saatu katettua jo kaikki muut luvut paitsi kakkosen potenssit (sillä kaikissa muissa parillisissa luvuissa on jokin pariton luku tekijänä). Nyt on osoitettava enää, että mitään kakkosen potensseja ei todellakaan voida kirjoittaa peräkkäisten lukujen summaksi.

Tutkitaan yleisesti k peräkkäisen kokonaisluvun summaa. Jos lukuja on pariton määrä, on summa jaollinen jollakin parittomalla luvulla, kuten edellä todettiin. Tutkitaan siis yleistä peräkkäisten lukujen summaa, jossa on parillinen määrä summan tekijöitä. Jos ensimmäinen luvuista on m, on viimeinen niistä m+(k-1). Saadaan aritmeettinen summa

    \[m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(m+(k-1))\]

    \[=km+(0+1+2+\cdots +(k-1))\]

    \[=km+\frac{k}{2}(k-1).\]

Lavennetaan ensimmäistä termiä kakkosella ja otetaan osoittajasta k yhteiseksi tekijäksi. Saadaan

    \[km+\frac{k}{2}(k-1)=\frac{k(2m-k-1)}{2}.\]

Koska k on parillinen kokonaisluku, on tulon tekijä (2m-k-1) varmasti pariton, joten saatu luku ei voi olla kakkosen potenssi. Näin ollen kakkosen potensseja ei voida milloinkaan esittää peräkkäisten lukujen summana.

0

Neliön kolmijako

|

Neliön yhdestä kärjestä vedetään kaksi kuvan mukaista janaa, jotka jakavat neliön kolmeen yhtä suureen osaan. Missä suhteessa janat jakavat neliön sivut?Näyttökuva 2015-11-5 kello 19.25.34

 

Ratkaisu: Sivujen jakosuhde on 2:1. Tämä on helppo huomata esimerkiksi piirtämällä neliölle lävistäjä samasta kärjestä, josta janat lähtevät. Nyt muodostuvien symmetristen kolmioiden alojen suhteen on selvästi oltava 2:1, jotta alkuperäisten janojen erottama nelikulmio olisi kolmannes koko neliön alasta. Koska kolmioilla on sama korkeusjana (neliön sivu), on alojen suhde välttämättä kannan jakosuhde.

Näyttökuva 2015-11-5 kello 19.27.07

0

Venäläisen kolmion piiri

|

Ystäväni Tuomas Salo törmäsi Moskovan-vierailullaan viime vuosituhannen lopulla seuraavaan oivallisen kauniiseen pulmaan.

Valitaan mielivaltaisesti piste A positiiviselta x-akselilta väliltä ]0,1[ ja piste B positiiviselta y-akselilta väliltä ]0,1[. Valitaan piste C mistä tahansa origokeskisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion ABC piiri on enemmän kuin 2.

Ellet muuten usko, voit liikutella pisteitä oheisessa Geogebra-appletissa. Jos appletti ei näy tässä, voit leikkiä sillä Geogebratubessakin.

 

Ratkaisu: Tämän ongelman voinee ratkaista algebrallakin – Pythagoraan lausetta ja muutamia luotaantyöntäviä yhtälöitä ja niin edelleen. Seuraava ratkaisu on kuitenkin kauneudessaan ilmiömäinen ja, mikä tärkeintä, täysin riittävä.venalainenongelma

Peilataan piste C x– ja y-akseleiden suhteen pisteiksi C' ja C''.Nyt symmetrian nojalla janat AC ja AC' ovat keskenään yhtä pitkät, samoin janat BC ja BC''. Näin ollen kolmion ABC piiri on sama kuin murtoviivan C'ABC'' pituus. Koska C'C'' on ympyrän halkaisija, ja siis pituudeltaan 2, on kysytty piiri selvästi tätä pidempi.