Monthly Archives: syyskuu 2015

0

Kolikonheittoa shakkilaudalla

|

Pyöreä kolikko pudotetaan sattumanvaraisesti suurelle shakkilaudalle. Shakkilaudan ruudun sivu on kaksinkertainen kolikon halkaisijaan verrattuna. Millä todennäköisyydellä kolikko putoaa sekä mustan että valkean ruudun päälle?

Tämä hauska pikku pulma tuli vastaan Alex Bellosin The Guardianissa pitämää pulmapalstaa selatessani. Hän puolestaan sanoi löytäneensä ongelman kirjasta, jolla on hieno nimi: Professor Povey’s Perplexing Problems. Tämä Thomas Poveyn kirja lähtikin heti tilaukseen. Pitäkää siis varanne jatkossakin, rakkaat pulmakulman lukijat!

Ratkaisu: 

Tarkastellaan shakkilautaa, jonka ruudun sivun pituus on 2a. Tällöin kolikon halkaisija on a, ja kolikkoja mahtuu kerralla yhden ruudun sisälle neljä. Tässä asetelmassa kolikkojen keskipisteet muodostavat neliön, jonka sivun pituus on a. image

Jos nyt pudotamme kolikon shakkiruudulle, ei se ulotu toisen ruudun puolelle, mikäli sen keskipiste jää tummennetun neliön sisälle. Tämän tummennetun neliön ala on \frac{1}{4} koko ruudun alasta, joten vastaus kysymykseen on tietenkin \frac{3}{4}.

7

Pyöreän pöydän ritarit – ratkaisu

|

Suuren salin pyöreän pöydän ympärillä oli 24 tasaisin välimatkoin aseteltua nimettyä paikkaa. Kun pyöreän pöydän ritarit saapuivat saliin, oli valitettavasti pimeää, ja kaikki ritarit istuivat vahingossa väärille paikoille. Osoita, että pöytää kiertämällä saadaan ainakin kahden ritarin nimilaput oikeille paikoille.

Tässä ongelmassa vaikuttaa yksinkertaisuudestaan huolimatta sangen vahva matemaattinen periaate, jota kutsutaan kyyhkyslakkaperiaatteeksi. Toisinaan sitä kutsutaan myös kehittäjänsä Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet’n (1805–1859) mukaan, mutta pitäytykäämme tässä hieman hauskemmassa – ja silti yleisesti tunnetussa – nimityksessä. Kyyhkyslakkaperiaatteessa on kyse siitä, että jos m asiaa pitää laittaa n laatikkoon ja m>n, niin ainakin yhteen laatikkoon tulee ainakin kaksi asiaa.

Kuinka pyöreän pöydän ritarit sitten liittyvät kyyhkyslakkaperiaatteeseen? Yleisyydestä luopumatta voidaan sopia, että pöytää kierretään esimerkiksi vastapäivään. Nyt kukaan ritareista ei ole omalla paikallaan, joten jokainen on korkeintaan 23 paikan päässä omasta nimilapustaan. Koska ritareita on 24, on vähintään kahden ritarin oltava (jollakin) samalla etäisyydellä d omasta paikastaan. Siis jos pöytää kierretään d askelta, nämä vähintään kaksi ritaria saadaan omille paikoilleen.

24 ei ole tässä mikään taikaluku, sillä kyyhkyslakkaperiaate kyllä soveltuu muihinkin vastaavankaltaisiin tilanteisiin. 24 on vain valittu siksi, ettei kaikkien järjestysvaihtoehtojen läpikäynti yksi kerrallaan olisi ihan liian helppoa, mutta toisaalta ei liian vaikeaakaan.

Kysyin alkuperäisen jutun kommenttiosiossa, onnistuuko kierto enää välttämättä, jos yksi ritari olisikin istunut oikealle paikalle. Näkemykseni mukaan tässä tapauksessa ainakaan kyyhkyslakkaperiaatetta ei voida soveltaa, sillä väärille paikoille istuneet 23 ritaria ovat nyt 1–23 paikan päässä oikealta paikaltaan. Luultavasti on mahdollista konstruoida tilanne, jossa kiertämällä ei saada kuin yksi ritari kerrallaan paikalleen. En tosin ole nyt ihan varma. Todistakaapa tämä joko todeksi tai epätodeksi.

Muokattu 29.9.2015 – Neuvokas lukijamme Antti S. esittää alla mainion todistuksen sille, että homma onnistuu, vaikka yksi ritareista istuisikin aluksi epähuomiossa omalle paikalleen.

4

Pyöreän pöydän ritarit

|

Suuren salin pyöreän pöydän ympärillä oli 24 tasaisin välimatkoin aseteltua nimettyä paikkaa. Kun pyöreän pöydän ritarit saapuivat saliin, oli valitettavasti pimeää, ja kaikki ritarit istuivat vahingossa väärille paikoille. Osoita, että pöytää kiertämällä saadaan ainakin kahden ritarin nimilaput oikeille paikoille.

Tämä ongelma löytyi Matthew Scroggsin pulmasivuilta. Hän itse kreditoi ongelman kenellepä muullekaan kuin Martin Gardnerille. Pulman ratkaisu löytyy täältä.

Evrard d’Espinques (noin v. 1470): Kuningas Arthur ja pyöreän pöydän ritarit (Kuvalähde: Wikimedia Commons/Public Domain)

2

Tornikellon lyönnit

|

Tornikello lyö 12 kertaa 30 sekunnissa. Missä ajassa kello lyö kuusi kertaa?

Kuva: Mikko Paananen/Wikipedia

Ratkaisu: 

Tornikello lyö ensimmäisen kerran ajanhetkellä 0 sekuntia ja kahdennentoista kerran ajanhetkellä 30 sekuntia. Näiden hetkien väliin jää 11 lyönninväliä, joista viidennen jälkeen kello lyö kuudennen kerran. Näin ollen kello lyö kuusi kertaa \frac{5}{11}\cdot 30=\frac{150}{11}\approx 13,6 sekunnissa.

Tähän kirjoitan nyt vielä julkisen anteeksipyynnön lukion pitkän matematiikan ykköskurssilaisilleni, jotka täysin yksimielisesti vastasivat tähän kysymykseen väärin kurssikokeessaan viime viikolla. Tiesin hieman jekuttavani teitä. Anteeksi.

1

Viiniä kuninkaan juhliin – ratkaisu

|

Kuninkaalla oli suuret syntymäpäiväjuhlat tulossa. Hän oli varannut juhlia varten 1000 tynnyrillistä viiniä kellariinsa. Mutta viikkoa ennen juhlia alkoi hovissa levitä huhu, että yksi tynnyreistä olisi myrkytetty. – – Kuningas päättää testata viinikellarinsa ministereillään. Mikä on vähin määrä ministereitä, joka kuninkaan on uhrattava, jotta hän varmasti saisi selville, mikä tynnyreistä on myrkytetty?

Kuten aiemmassa ongelmassa mainittiin, on binääriluvuilla lukuisia sovelluksia. Myös tämä ongelma ratkeaa lukujen muuttamisella binäärijärjestelmään. Kertauksen vuoksi: luvun binääriesityksellä tarkoitetaan luvun esittämistä kakkosen potenssien avulla. Näin siis esimerkiksi 13=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=1101_2. Koska 2^9=512 ja 2^{10}=1024, ongelma voidaan ratkaista vähimmillään kymmenen ministerin avustuksella.

Liitetään jokaiseen tynnyriin yksilöllinen 10-bittinen binääriluku; lisätään tarvittaessa luvun eteen nollia. Esimerkiksi 6. tynnyri olisi 0000000110 ja 789. tynnyri 1100010101. Tämän jälkeen järjestetään ministerit järjestykseen ensimmäisestä kymmenenteen. Tynnyrin binääriluvun bitti (1 tai 0) kertoo, pitääkö kunkin ministerin maistaa tynnyristä vai ei. Tässä esimerkiksi ensimmäinen ja toinen ministeri eivät maistaisi 6. tynnyristä, mutta maistaisivat 789. tynnyristä. Kolmannen ministerin ei tarvitsisi maistaa kummastakaan, kun taas esimerkiksi tynnyristä numero 245 (eli binäärisenä 0011110101) hän maistaisi, kuten myös neljäs, viides, kuudes, kahdeksas ja kymmenes ministeri.

4

Missä isä on?

|

Lapsi on 21 vuotta äitiään nuorempi. Tasan kuuden vuoden kuluttua äidin ikä on täsmälleen viisinkertainen lapsen ikään verrattuna. Missä lapsen isä on?

Tämä hauska ongelma löytyi uusiseelantilaiselta FOLJ.com-pulmasivustolta, jonne viime viikon vaikean punnitusongelman vinkannut Johannes Jermakka minut johdatti.

Ratkaisu:

Olkoon lapsen ikä nyt x vuotta. Tällöin äidin ikä kuuden vuoden kuluttua on 27+x, ja koska se on viisinkertainen lapsen ikään verrattuna, saadaan yhtälö

    \[27+x=5(x+6),\]

jonka ratkaisu on x=-\frac{3}{4} vuotta eli -9 kuukautta. Näin ollen lapsen isä lienee juuri siellä, missä lapsen äitikin on.

 

0

Viiniä kuninkaan juhliin

|

Kuninkaalla oli suuret syntymäpäiväjuhlat tulossa. Hän oli varannut juhlia varten 1000 tynnyrillistä viiniä kellariinsa. Mutta viikkoa ennen juhlia alkoi hovissa levitä huhu, että yksi tynnyreistä olisi myrkytetty. Myrkky oli niin voimakasta, että pisarakin viiniä saastuneesta tynnyristä riittäisi kasvattamaan viisimetriset sierainkarvat kaikille tynnyristä siemailleille. Pahinta oli, että vaikka myrkyn vaikutus sitä juoneelle oli sataprosenttisen varma, myrkytyksen itämisaika oli jotain yhdestä vuorokaudesta kuuteen vuorokautta, eikä ennen sierainkarvojen äkillistä kasvua voinut mitenkään päätellä, oliko nauttinut myrkytettyä viiniä vai ei. Kuningas päättää testata viinikellarinsa ministereillään. Mikä on vähin määrä ministereitä, joka kuninkaan on uhrattava, jotta hän varmasti saisi selville, mikä tynnyreistä on myrkytetty?

Kuvaskannaus: JPS68/Wikimedia Commons (Public domain)

Ongelman ratkaisu löytyy täältä.

0

Rahojen punnitus – ratkaisu

|

Kahdestatoista samannäköisestä rahasta yksi on väärennetty. Se on joko hieman liian kevyt tai liian painava. Käytettävissä on tasapainovaaka. Mikä on vähin määrä punnituksia, jolla voit varmasti selvittää, mikä rahoista on väärä ja onko se liian kevyt vai liian painava?

Tarvittavien punnitusten määrä on kolme. Aloitetaan punnitsemalla molemmissa vaakakupeissa neljä kolikkoa. Jos punnitus on tasapainossa, on virheellinen kolikko neljän jäljelle jääneen joukossa. Näistä punnitaan kolme toisessa kupissa ja kolme oikeaa kolikkoa toisessa. Jos tämäkin on tasapainossa, on virheellinen kolikko löytynyt, ja kolmas punnitus osoittaa, onko se liian kevyt vai liian painava.

Jos taas kolme ”väärää” ja kolme oikeaa tuottaa epätasapainon, on löydetty se, onko haettu kolikko liian painava vai liian kevyt. Tämän jälkeen virheellinen yksilö löytyy laittamalla kolmesta mahdollisesta väärästä yksi kumpaankin vaakakuppiin. Tasapaino kertoo, että se kolmas on väärä, epätasapaino puolestaan sen, kumpi punnituista on väärän painoinen.

Tilanne muuttuu hankalammaksi, kun ensimmäinen 4+4-punnitus osoittaa epätasapainoa. Tämän jälkeen meillä on neljä ”painavaa”, neljä ”kevyttä” ja neljä varmasti oikeaa kolikkoa. Jatketaan nyt laittamalla kolme painavaa ja yksi kevyt toiseen kuppiin sekä yksi painava ja kolme oikeaa toiseen kuppiin. Mahdollisia tapauksia on nyt kolme.

Ensinnä, jos punnitus antaa tasapainon, on etsitty kolikko kolmen punnitsemattoman kevyen joukossa, joista se saadaan esille punnitsemalla yksi kolikko molemmissa kupeissa. Samaan tapaan virheellinen kolikko löytyy, mikäli punnitus osoittaa kolmen painavan kolikon puolen olevan edelleen painavampi.

Kolmas tapaus puolestaan on se, jos kolmen painavan kolikon puoli onkin nyt kevyempi. Tällöin joko yksinäinen painava kolikko on painavampi tai yksinäinen kevyt on kevyempi. Laittamalla kolmannessa punnituksessa nämä kaksi toiseen kuppiin ja kaksi oikeaa toiseen kuppiin ratkeaa epätasapainon suunnasta, kummasta kolikosta oli kyse.

Näin. Pirullinen ongelma sinänsä sangen yksinkertaisen tuntuisesta lähtötilanteesta.

0

Rahojen punnitus

|

Kahdestatoista samannäköisestä rahasta yksi on väärennetty. Se on joko hieman liian kevyt tai liian painava. Käytettävissä on tasapainovaaka. Mikä on vähin määrä punnituksia, jolla voit varmasti selvittää, mikä rahoista on väärä ja onko se liian kevyt vai liian painava?

Tämäntyyppiset punnitusongelmat ovat hyvin klassista ongelmamatematiikkaa. Kiitoksia pulmasta Johannes Jermakalle Australiaan! Ongelman ratkaisu on tässä.

Kuva: Michael Coughlan/Flickr (CC BY-SA)

Kuva: Michael Coghlan/Flickr (CC BY-SA)

1

Leikatun ja leikkaamattoman neliön palastelu

|

Tarkastellaan ensiksi kuviota, joka muodostuu, kun neliöstä leikataan oikeanpuoleinen yläneljännes pois. Pystytkö jakamaan sen neljäksi yhteneväksi (samankokoiseksi ja samanmuotoiseksi) kuvioksi?

Näyttökuva 2015-9-1 kello 18.45.57

Otetaan sitten sama neliö, mutta nyt leikkaamattomana. Pystytkö jakamaan sen viideksi yhteneväksi kuvioksi?

Näyttökuva 2015-9-1 kello 18.47.36

Tämä ongelma on vanha klassikko, josta minua muistutti matemaatikko James Grime Twitterissä. Grime on mainio esiintyjä, joka on poikennut Suomessakin kertoilemassa mm. Alan Turingista ja Enigma-salakirjoituslaitteen murtamisesta.

Neliö, josta on yksi neljännes leikattu, voidaan jakaa neljäksi yhteneväksi kuvioksi näin:

Näyttökuva 2015-9-1 kello 19.08.48

Toinen kysymys johtikin sitten jälleen puujalkavitsiosastolle. Sama neliö voidaan jakaa viiteen yhtenevään palaan esimerkiksi näin:

Näyttökuva 2015-9-1 kello 19.09.20