Montako on paljon? Kumpi joukoista on suurempi? Kysymys on yksinkertainen siihen asti, kun kaikki joukon alkiot voidaan luetella. Se joukko, jossa on enemmän alkioita, on suurempi. Niin kauan kuin tarkastelemme joukkoja, joissa on sata tai miljardi tai vaikka  alkiota, on käsiteltäviä alkioita vain äärellinen, laskettavissa oleva määrä, joka voidaan ilmoittaa luonnollisella luvulla.

Asiat muuttuvat, kun alkioita onkin äärettömästi. Äärettömyys on äärettömän kiehtova teema matematiikassa (ja matematiikan opettajien ilmeiset vitsit ovat äärettömän kehnoja). Äärettömyyksiä on eri kokoisia. Numeroituvasti ääretön joukko on sellainen, jonka alkiot voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä, mikäli aikaa olisi loputtomiin käytettävissä. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko on numeroituvasti ääretön, kuten myös vaikkapa parillisten luonnollisten lukujen joukko . Numeroituvasti äärettömillä joukoilla sanotaan olevan sama kardinaaliluku, mikä tarkoittaa, että (sikäli kuin joukkojen alkioden lukumäärästä voidaan mielekkäästi puhua) joukoissa on yhtä monta alkiota.

Toki näyttää siltä, että luonnollisia lukuja on tuplasti enemmän kuin parillisia luonnollisia lukuja, mutta itse asiassa onkin niin, että niitä on ”yhtä äärettömästi”. Mikä olisi kätevä tapa osoittaa tämä?

Rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, eli kun valitaan mitkä tahansa kaksi reaalilukua, niin niiden väliin mahtuu aina rationaaliluku. Tämä ominaisuus ei selvästikään ole esimerkiksi luonnollisilla luvuilla voimassa. Mutta voitaisiinko silti osoittaa, että rationaalilukuja on ”yhtä äärettömästi” kuin luonnollisia lukuja?