Akvaariossa on 200 kalaa, joista 198 on kultakaloja. Kuinka monta kultakalaa akvaariosta pitää poistaa, jotta niiden suhteellinen osuus laskisi 99 prosentista 98 prosenttiin?
Kuva: Benson Kua/Flickr (CC BY-SA 2.0)
Ongelman ratkaisu on tässä.
Kaksi jokilaivaa lähtee samaan aikaan joen vastakkaisilta rannoilta tasaisella nopeudella suoraviivaisesti kohti vastarantaa; toinen laivoista on nopeampi. Kun laivat kohtaavat, on lähempi ranta 720 metrin päässä. Molemmat laivat pysähtyvät rannalle kymmeneksi minuutiksi, ja kun ne kohtaavat seuraavan kerran, ovat ne 400 metrin päässä toisesta rannasta. Kuinka leveä joki on?
Olkoon joen leveys 
metriä. Kumpikin laiva pysähtyy kymmeneksi minuutiksi, joten tällä ei ole merkitystä ratkaisun kannalta. Voidaan keskittyä pelkästään joella kulutettuun aikaan. Koska laivat kulkevat tasaisella nopeudella, ovat kuljettu matka ja käytetty aika suoraan verrannolliset. Tämä johtaa pariin melko yksinkertaiseen ratkaisumalliin.
Ensinnäkin, kun laivat kohtaavat ensimmäisen kerran, ovat ne taittaneet matkaa yhteensä metriä. Toisen kohtaamisen hetkellä matkaa on taitettu puolestaan 
metriä (molemmat laivat kertaallen koko välin ja vajaan toisen välin), joten kulutettu aikakin on kolminkertainen. Nopeamman laivan kulkemaa matkaa tutkimalla tästä saadaan yhtälö
![\[3(x-720)=2x-400,\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3af53378d74cef8b82eeb0a84de3b673_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
jonka ratkaisu 
(metriä) on joen leveys.
Toisaalta matkan ja käytetyn ajan verrannollisuus johtaa myös laivojen kulkemista matkoista laadittuun verrantoyhtälöön
![\[\frac{x-720}{720}=\frac{2x-400}{x+400},\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ccb39f5af4181851d1913880ae55d0a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
josta nimittäjät pois kertomalla ja termejä järjestelemällä saadaan 
. Tämän yhtälön positiivinen juuri on tietenkin sama .
Auto ajaa 60 km/h. Sitä vastaan lähtee 100 kilometrin päästä mopo, jonka nopeus on 40 km/h. Auton etupuskurilta lähtee samalla hetkellä lentoon kärpänen, joka lentää 80 km/h kohti mopoa. Kun kärpänen saavuttaa mopon, se lähtee takaisin kohti autoa, jonka luona se kääntyy välittömästi kohti mopoa ja niin edelleen. Kuinka pitkän matkan kärpänen ehtii lentää ennen kuin auto ja mopo kohtaavat?
Auto ja mopo kohtaavat tunnin kuluttua lähdöstä. Siis kärpänen lentää 80 kilometriä. Kuten eräs vakiokommentaattori Twitterissä totesi, kannattaisi ehkä uskoa vähitellen #viikonhelppo-tunnistetta. Toki tämän ongelman voi ehkä ratkoa jollakin hankalammallakin tavalla…
Niin, ja ilmeisesti ongelmassa hämäsi myös sen epäluonnollisuus. Minulle valistettiin, että kärpäsen lentonopeus on oikeastaan noin 8 km/h. Mutta tämä olikin matemaattinen erikoiskärpänen. Pistemäinen, ja niin edelleen.
Auto ajaa 60 km/h. Sitä vastaan lähtee 100 kilometrin päästä mopo, jonka nopeus on 40 km/h. Auton etupuskurilta lähtee samalla hetkellä lentoon kärpänen, joka lentää 80 km/h kohti mopoa. Kun kärpänen saavuttaa mopon, se lähtee takaisin kohti autoa, jonka luona se kääntyy välittömästi kohti mopoa ja niin edelleen. Kuinka pitkän matkan kärpänen ehtii lentää ennen kuin auto ja mopo kohtaavat?
Ongelman ratkaisu on tässä.
IMLS Digital Collections & Content / Flickr (CC BY 2.0)
Kaksi jokilaivaa lähtee samaan aikaan joen vastakkaisilta rannoilta tasaisella nopeudella suoraviivaisesti kohti vastarantaa; toinen laivoista on nopeampi. Kun laivat kohtaavat, on lähempi ranta 720 metrin päässä. Molemmat laivat pysähtyvät rannalle kymmeneksi minuutiksi, ja kun ne kohtaavat seuraavan kerran, ovat ne 400 metrin päässä toisesta rannasta. Kuinka leveä joki on?
Martin Gardnerin ongelma, tietenkin. Ratkaisu löytyy tästä. Ensi viikolle keksin sitten jotain ihan muuta.
Kuutio voidaan jakaa kuudella suoralla sahauksella 27 tasakokoiseksi pieneksi kuutioksi. Jos yksittäisen sahauksen jälkeen kuution osia voisi mielensä mukaan järjestellä uudelleen, olisiko mahdollista vähentää tarvittavien sahauksien määrää?
Sahauksien lukumäärää ei voi vähentää kuudesta. Keskimmäisessä kuutiossa on kuusi sahattavaa pintaa.
Pyöräilijä lähtee Tampereelta kohti Varkautta polkien tasaisella nopeudella. Tuntia myöhemmin Varkaudesta lähtee autoilija niin ikään tasaisella nopeudella kohti Tamperetta. Kun he kohtaavat, kumpi on lähempänä Tamperetta?
Tämä arvoitus herätti hieman hämmentynyttä vastakaikua, joten lienee tarpeen selventää, että kyseessä on tietenkin huumori. Me matemaatikot olemme hauskoja! Keksimme sellaisiakin vitsejä, että olkoon 
…
Vastaus on siis, että yhtä kaukanahan he Tampereelta ovat, kun he kohtaavat. Tässä siis oletetaan, että autoilija ja pyöräilijä ovat pistemäisiä, täsmälleen samalla reitillä kulkevia objekteja.
Tämä vitsi tuo mieleeni yhden toisen ongelman, joka löytyy lukiomatematiikan oppikirjoistakin. Ja tämän toisen ongelman ratkaisu on hieno, vaikkei ehkä samaan tapaan humoristinen. Tämä on ihan oikeasti matematiikkaa.
Siis: Retkeilijä lähtee tunturihotellilta kello 7 aamulla kohti autiotupaa, jossa hän on perillä kello 17 illalla. Seuraavana päivänä hän lähtee takaisin kohti tunturihotellia samaa reittiä kulkien kello 9 aamulla ollen perillä kello 15. Osoita, että hän voi molempina päivinä pitää evästauon täsmälleen samassa kohdassa täsmälleen samaan aikaan.
Rubikin kuutio voidaan jakaa kuudella suoralla sahauksella 27 tasakokoiseksi pieneksi kuutioksi kuvan osoittamalla tavalla. Jos yksittäisen sahauksen jälkeen kuution osia voisi mielensä mukaan järjestellä uudelleen, olisiko mahdollista vähentää tarvittavien sahauksien määrää?
Tämäkin ongelma kumartaa kauniisti Martin Gardnerin suuntaan. Ratkaisu löytyy tästä.
Pyöräilijä lähtee Tampereelta kohti Varkautta polkien tasaisella nopeudella. Tuntia myöhemmin Varkaudesta lähtee autoilija niin ikään tasaisella nopeudella kohti Tamperetta. Kun he kohtaavat, kumpi on lähempänä Tamperetta?
George H. Van Norman (n. 1898): ”Bike for Four”; Wikipedia/Public Domain
Ratkaisu ongelmaan on tässä.
Näyttää siltä, että luonnollisia lukuja on tuplasti enemmän kuin parillisia luonnollisia lukuja, mutta itse asiassa onkin niin, että niitä on ”yhtä äärettömästi”. Mikä olisi kätevä tapa osoittaa tämä?
Rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, eli kun valitaan mitkä tahansa kaksi reaalilukua, niin niiden väliin mahtuu aina rationaaliluku. Tämä ominaisuus ei selvästikään ole esimerkiksi luonnollisilla luvuilla voimassa. Mutta voitaisiinko silti osoittaa, että rationaalilukuja on ”yhtä äärettömästi” kuin luonnollisia lukuja?
Toimiva ratkaisu joukkojen osoittamiseksi yhtä mahtaviksi (eli joukoiksi, joissa on yhtä monta alkiota) on näyttää, että joukkojen välille voidaan muodostaa niin kutsuttu bijektio. Tämä tarkoittaa sitä, että joukkojen alkioiden välille voidaan muodostaa 1–1-vastaavuus. Hieman toisin tulkittuna kyse on siis funktion ja sen käänteisfunktion olemassaolosta tarkasteltavien joukkojen välillä.
Luonnollisten lukujen ja parillisten luonnollisten lukujen välille 1–1-vastaavuuden löytäminen on yksinkertaista:
![\[\begin{array}{ccccccccc} 0&1&2&3&4&5&6&7&\ldots\\ \updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\\ 0&2&4&6&8&10&12&14&\ldots \end{array}\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f03460f3520c9b3c77fbc8ab959fb81_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Samaa ideaa voidaan välittömästi laajentaa myös muihin joukkoihin. Esimerkiksi kokonaislukujen ja luonnollisten lukujen joukot ovat selvästi yhtä mahtavia.
Miten sitten osoitetaan rationaaliluvut yhtä mahtavaksi joukoksi luonnollisten lukujen kanssa? Yksi tunnettu menetelmä on seuraavassa. Tutkitaan ensin positiivisten kokonaislukujen ja positiivisten rationaalilukujen yhteyttä. Muodostetaan positiivisista kokonaisluvuista oheinen taulukko.
![\[\begin{array}{c|cccccccc} &1&2&3&4&5&6&7&\ldots\\ \hline 1&\frac{1}{1}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7}&\ldots\\ 2&\frac{2}{1}&\frac{2}{2}&\frac{2}{3}&\frac{2}{4}&\frac{2}{5}&\frac{2}{6}&\frac{2}{7}&\ldots\\ 3&\frac{3}{1}&\frac{3}{2}&\frac{3}{3}&\frac{3}{4}&\frac{3}{5}&\frac{3}{6}&\frac{3}{7}&\ldots\\ 4&\frac{4}{1}&\frac{4}{2}&\frac{4}{3}&\frac{4}{4}&\frac{4}{5}&\frac{4}{6}&\frac{4}{7}&\ldots\\ 5&\frac{5}{1}&\frac{5}{2}&\frac{5}{3}&\frac{5}{4}&\frac{5}{5}&\frac{5}{6}&\frac{5}{7}&\ldots\\ 6&\frac{6}{1}&\frac{6}{2}&\frac{6}{3}&\frac{6}{4}&\frac{6}{5}&\frac{6}{6}&\frac{6}{7}&\ldots\\ 7&\frac{7}{1}&\frac{7}{2}&\frac{7}{3}&\frac{7}{4}&\frac{7}{5}&\frac{7}{6}&\frac{7}{7}&\ldots\\ 8&\frac{8}{1}&\frac{8}{2}&\frac{8}{3}&\frac{8}{4}&\frac{8}{5}&\frac{8}{6}&\frac{8}{7}&\ldots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array}\]](http://www.opettajah.fi/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-060a79d684e00cd5f286e13863768b8b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aletaan nyt käydä tätä taulukkoa läpi järjestelmällisesti vasemmasta yläkulmasta alkaen aina diagonaali kerrallaan ja vaihdetaan aina reunalle päästyämme suuntaa. Hypätään yli kaikki ne rationaaliluvut, jotka eivät ole yksinkertaisimmassa mahdollisessa muodossa. Saadaan siis jono 
(hypätään yli 
), 
(hypätään yli 
ja 
), 
ja niin edelleen.
Näin jatkamalla tulee selvästi jokainen positiivinen rationaaliluku käydyksi läpi. Ja koska ne voidaan siis luetella järjestyksessä, on niiden ja positiivisten kokonaislukujen 
välillä ilmeinen 1–1-vastaavuus. Pienellä vaivalla myös nolla sekä negatiiviset rationaaliluvut saadaan otettua mukaan luetteloon. Siis rationaalilukuja on ”yhtä monta” kuin luonnollisia lukuja.
Eräs tämän ongelman kiehtovia variaatioita tunnetaan esittäjänsä David Hilbertin mukaan nimellä Hilbertin hotelli. Siihen voi tutustua vaikkapa tästä.